Algebraisk ligningsmanipulation for elektriske kredsløb

Mat 2 Ekvationssystem algebraisk lösning (Juni 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Algebraisk ligningsmanipulation for elektriske kredsløb

Matematik til elektronik


Spørgsmål 1

Den elektriske modstand af en leder ved en hvilken som helst temperatur kan beregnes ved hjælp af følgende ligning:

R T = R r + R r αT - R r αT r

Hvor,

R T = Modstand af leder ved temperatur T

R r = Leders modstand ved reference temperatur T r

α = Temperaturbestandighedskoefficient ved reference temperatur T r

Forenkle denne ligning ved factoring.

Reveal svar Skjul svar

R T = R r (1 + a (T - T r ))

Opfølgningsspørgsmål: Når den er tegnet på en graf med temperaturen (T) som den uafhængige variabel og modstand (R T ) som den afhængige variabel (dvs. en toakse graf med T på vandret og R på lodret), er den resulterende plot lineære "noter skjult"> Noter:

Bare en øvelse i algebra her!

Spørgsmål 2

Ligningen for spændingsforstærkning (A V ) i et typisk ikke-inverterende, single-ended opamp-kredsløb er som følger:

A V = R1


R2

+ 1

Hvor,

R1 er feedbackmodstanden (forbinder udgangen til den inverterende indgang)

R2 er den anden modstand (forbinder den inverterende indgang til jorden)

Antag at vi ønskede at ændre spændingsforøgelsen i følgende kredsløb fra 5 til 6, 8, men havde kun friheden til at ændre modstanden af ​​R2:

Algebraisk manipulere forstærkningsligningen til at løse for R2, og bestem derefter den nødvendige værdi af R2 i dette kredsløb for at give den en spændingsgevinst på 6, 8.

Reveal svar Skjul svar

R2 = R1


A V - 1

For det viste kredsløb skal R2 indstilles til 810, 3 Ω.

Bemærkninger:

Intet mere end en lille algebra for at få svar på dette spørgsmål!

Spørgsmål 3

Ligningen for spændingsforstærkning (A V ) i et typisk inverterende, single-ended opamp-kredsløb er som følger:

A V = R1


R2

Hvor,

R1 er feedbackmodstanden (forbinder udgangen til den inverterende indgang)

R2 er den anden modstand (tilslutning af inverterende indgang til spændingssignalindgangsterminal)

Antag at vi ønskede at ændre spændingsforstærkningen i følgende kredsløb fra 3, 5 til 4, 9, men havde kun friheden til at ændre modstanden af ​​R2:

Algebraisk manipulere forstærkningsligningen til at løse for R2, og bestem derefter den nødvendige værdi af R2 i dette kredsløb for at give den en spændingsgevinst på 4, 9.

Reveal svar Skjul svar

R2 = R1


A V

For det viste kredsløb skal R2 indstilles til 1, 571 kΩ.

Bemærkninger:

Intet mere end en lille algebra for at få svar på dette spørgsmål!

Spørgsmål 4

Følgende ligninger løser for udgangsspændingen af ​​forskellige omskifteromformerkredsløb (losset), givet switchens driftscyklus D og indgangsspændingen:

V ud = DV i (Buck konverter kredsløb)

V ud = V in


1 - D

(Boost konverter kredsløb)

V ud = DV i


1 - D

(Omvendt eller Cuk konverter kredsløb)

Manipulere hver af disse ligninger for at løse for arbejdscyklus (D) med hensyn til indgangsspænding (V in ) og ønsket udgangsspænding (V ud ). Husk at arbejdscyklus altid er en mængde mellem 0 og 1 inklusive.

Reveal svar Skjul svar

D = V ud


V in

(Buck konverter kredsløb)

D = 1 -  V in


V ud

 ⎠ (Boost konverter kredsløb)

D = V ud


V i + V ud

(Omvendt eller Cuk konverter kredsløb)

Bemærkninger:

I betragtning af ligningerne for disse konverterkredittyper, der løser for udgangsspænding i form af indgangsspænding og arbejdscyklus D, er dette spørgsmål ikke mere end en øvelse i algebraisk manipulation.

Bemærk til dine elever, at alle disse ligninger antager en tilstand af nulbelastning på konverterkredsløbet. Når belastninger er til stede, vil outputspændingen naturligvis ikke være den samme som det, der forudsiges af disse pæne, enkle formler. Selvom disse DC-DC-omformerskredsløb almindeligvis betegnes som "regulatorer", er det noget vildledende at gøre det, fordi det fejlagtigt indebærer en kapacitet til selvkorrektion af udgangsspænding. Kun når det er koblet til et feedbackstyringsnetværk, er et hvilket som helst af disse konverterkredse i stand til faktisk at regulere udgangsspændingen til en indstillet værdi.

Spørgsmål 5

Løs for n i de følgende ligninger:

Ligning 1: -56 = -14n

Ligning 2: 54 - n = 10

Ligning 3: 4 / n = 12

Ligning 4: 28 = 2 - n

Reveal svar Skjul svar

Ligning 1: n = 4

Ligning 2: n = 44

Ligning 3: n = 0. (333)

Ligning 4: n = -26

Bemærkninger:

Lad dine elever komme frem i klassen og vise alle andre de teknikker, de plejede at løse for værdien af ​​a i hver ligning. Påmind dem om at dokumentere hvert trin i processen, så intet er tilbage for at gætte eller tilfældige.

Ligninger 2 til 4 kræver to trin for at løse n. Ligning 1 kræver kun et enkelt trin, men de to negative tal kan være lidt forvirrende for nogle.

Spørgsmål 6

Formlen til beregning af total modstand af tre seriekoblede modstande er som følger:

R = R1 + R2 + R3

Algebraisk manipulere denne ligning for at løse en af ​​seriemodstandene (R 1 ) i forhold til de to andre serieresistenser (R 2 og R 3 ) og den totale modstand (R). Skriv med andre ord en formel, der løser for R1 i forhold til alle de andre variabler.

Reveal svar Skjul svar

R1 = R- (R2 + R3) eller R1 = R-R2-R3

Bemærkninger:

Dette spørgsmål er ikke mere end at praktisere algebraisk manipulering af ligninger. Bed dine elever om at vise dig, hvordan de løst det, og hvordan de to givne svar er ens.

Spørgsmål 7

Manipulere denne ligning for at løse modstandsværdien R1, givet værdierne for R2 og R parallelle :

R parallel = R1 R2


R1 + R2

Så giv et eksempel på en praktisk situation, hvor du måske bruger denne nye ligning.

Reveal svar Skjul svar

R1 = R 2 R parallel


R 2 - R parallel

Jeg vil lade dig regne ud en situation, hvor denne ligning ville være nyttig!

Bemærkninger:

Dette spørgsmål er virkelig ikke mere end en øvelse i algebraisk manipulation.

Spørgsmål 8

Formlen til beregning af total modstand af tre parallelt forbundne modstande er som følger:

R = 1


1


R1

+ 1


R2

+ 1


R3

Algebraisk manipulere denne ligning for at løse en af ​​de parallelle modstande (R 1 ) med hensyn til de to andre parallelle modstande (R2 og R3) og den totale modstand (R). Skriv med andre ord en formel, der løser for R1 i forhold til alle de andre variabler.

Reveal svar Skjul svar

R1 = 1


1


R

- ( 1


R2

+ 1


R3

)

eller R1 =

1


1


R

- 1


R2

- 1


R3

Bemærkninger:

Dette spørgsmål er ikke mere end at praktisere algebraisk manipulering af ligninger. Bed dine elever om at vise dig, hvordan de løst det, og hvordan de to givne svar er ens.

Spørgsmål 9

Effektfordelingen af ​​en transistor er givet ved følgende ligning:

P = I C  V CE + V BE


β

 ⎠

Manipulere denne ligning for at løse for beta, givet alle de andre variabler.

Reveal svar Skjul svar

β = V BE


P


Jeg C

- V CE

Bemærkninger:

Selvom dette spørgsmål i det væsentlige ikke er mere end en øvelse i algebraisk manipulation, er det også en god indledning til en diskussion om betydningen af ​​magtfordeling som en halvleder-enhedsklassificering.

Høj temperatur er bane for de fleste halvledere, og høj temperatur er forårsaget af for stor strømafledning. Et klassisk eksempel på dette, men lidt dateret, er temperaturfølsomheden af ​​de originale germaniumtransistorer. Disse anordninger var yderst følsomme for varme og ville svigte ret hurtigt, hvis de fik lov til at overophedes. Solid state design ingeniører var nødt til at være meget forsigtige i de teknikker, de brugte til transistor kredsløb for at sikre, at deres følsomme germanium transistorer ikke ville lide af "termisk runaway" og ødelægge sig selv.

Silicium er meget mere tilgivende end germanium, men varme er stadig et problem med disse enheder. På tidspunktet for denne skrivning (2004) er der lovende udviklingsarbejde på siliciumcarbid og gallium nitrid transistorteknologi, som kan fungere under meget højere temperaturer end silicium.

Spørgsmål 10

Forfaldet af en variabel over tid i et RC eller LR kredsløb følger dette matematiske udtryk:

e - (t / (t))

Hvor,

e = Eulers konstant (≈ 2, 718281828)

t = Tid, i sekunder

τ = Tidskonstant for kredsløb, i sekunder

For eksempel, hvis vi skulle evaluere dette udtryk og ankomme til en værdi på 0, 398, ville vi vide, at den pågældende variabel er forfaldet fra 100% til 39, 8% over den angivne tidsperiode.

Men det er vanskeligere at beregne mængden af ​​tid, det tager for en decaying variabel at nå en bestemt procentdel. Vi ville skulle manipulere ligningen til at løse for t, som er en del af en eksponent.

Vis, hvordan følgende ligning kan algebraisk manipuleres for at løse for t, hvor x er tallet mellem 0 og 1 (inklusive), der repræsenterer procentdelen af ​​den oprindelige værdi for den pågældende variabel:

x = e - (t / (t))

Bemærk: "Tricket" her er hvordan man isolerer eksponenten ((-t) / (τ)). Du skal bruge den naturlige logaritme funktion!

Reveal svar Skjul svar

Viser alle de nødvendige trin:

x = e - (t / (t))

lnx = ln (e - (t / (t)) )

lnx = - t


τ

t = -tlnx

Bemærkninger:

Efter min erfaring er de fleste amerikanske gymnasieelever meget svage i logaritmer. Det er tilsyneladende ikke undervist meget godt på gymnasieniveau, hvilket er en skam, fordi logaritmer er et kraftfuldt matematisk værktøj. Det kan være nødvendigt at forklare dine elever, hvad en logaritme er, og præcis hvorfor det "gør ikke" eksponenten.

Når jeg er nødt til at give en hurtig præsentation om logaritmer, starter jeg som regel med en generisk definition:

Givet: b a = c

Logaritme defineret: log b c = a

Mundtligt defineret, beder logaritmens funktion os om at finde kraften (a) af basen (b), der vil give c.

Dernæst introducerer jeg den fælles logaritme. Dette er selvfølgelig en logaritme med en base på 10. Et par hurtige kalkulatorøvelser hjælper eleverne med at forstå hvad den fælles logaritmefunktion handler om:

log10 =

log100 =

log1000 =

log10000 =

log100000 =

log 1


10

=

log 1


100

=

log 1


1000

=

Herefter introducerer jeg den naturlige logaritme : en logaritme med en base af e (Eulers konstante):

Naturlig logaritme defineret: lnx = log e x

Lad dine elever lave denne enkle beregning på deres regnemaskiner og forklare resultatet:

ln2.71828 =

Næste kommer en øvelse til at hjælpe dem med at forstå, hvordan logaritmer kan ündo "eksponering. Lad dine elever beregne følgende værdier:

e 2 =

e 3 =

e 4 =

Få dem nu de naturlige logaritmer for hver af disse svar. De vil opdage, at de ankommer til de oprindelige eksponentværdier (henholdsvis 2, 3 og 4). Skriv dette forhold på tavlen som sådan for dine elever at se:

lne 2 = 2

lne 3 = 3

lne 4 = 4

Bed dine elever om at udtrykke dette forhold i almindelig form ved hjælp af variablen x for kraften i stedet for et faktisk tal:

lne x = x

Det skal nu være tydeligt, at den naturlige logaritmefunktion har evnen til at "fortryde" en kraft af e. Nu skal det være klart for jeres elever, hvorfor den givne sekvens af algebraiske manipulationer i svaret på dette spørgsmål er sandt.

Spørgsmål 11

Spændings- og løbende gevinster, udtrykt i enheder af decibel, kan beregnes som sådan:

A V (dB) = 10 log (A V (forhold) ) 2

A I (dB) = 10 log (A I (forhold) ) 2

En anden måde at skrive denne ligning på er som sådan:

A V (dB) = 20 logA V (forhold)

A I (dB) = 20 logA I (forhold)

Hvilken algebra lov giver os mulighed for at forenkle en logaritmisk ligning på denne måde "# 11"> Reveal svar Skjul svar

loga b = b loga

Udfordringsspørgsmålet: At kende denne algebraiske lov, løse for x i følgende ligning:

520 = 8 x

Bemærkninger:

Logaritmer er et forvirrende, men kraftfuldt algebraisk værktøj. I dette eksempel ser vi, hvordan logaritmen af ​​en strømfunktion omdannes til en simpel multiplikationsfunktion.

Udfordringsspørgsmålet beder eleverne om at anvende dette forhold på en ligning, der ikke indeholder logaritmer overhovedet. Algebraets grundlæggende regel er imidlertid at du kan udføre enhver operation (herunder logaritmer) til enhver ligning, så længe du anvender den lige på begge sider af ligningen. Logaritmer tillader os at tage et algebra problem som dette og forenkle det betydeligt.

Spørgsmål 12

Løs for værdien af ​​x i de følgende ligninger:

10x = 80 x =

3 = 15


x

x =

Reveal svar Skjul svar

10x = 80 x = 8

3 = 15


x

x = 5

Bemærkninger:

Lad dine elever komme frem i klassen og vise alle andre de teknikker, de plejede at løse for værdien af ​​x i hver ligning. Påmind dem om at dokumentere hvert trin i processen, så intet er tilbage for at gætte eller tilfældige.

Spørgsmål 13

Løs for værdien af ​​x i de følgende ligninger:

5x = 15 x =

6 = x


2

x =

Reveal svar Skjul svar

5x = 15 x = 3

6 = x


2

x = 12

Bemærkninger:

Lad dine elever komme frem i klassen og vise alle andre de teknikker, de plejede at løse for værdien af ​​x i hver ligning. Påmind dem om at dokumentere hvert trin i processen, så intet er tilbage for at gætte eller tilfældige.

Spørgsmål 14

Løs for værdien af ​​a i de følgende ligninger:

Ligning 1: a - 4 = 10

Ligning 2: 30 = a + 3

Ligning 3: -2a = 9

Ligning 4: a / 4 = 3, 5

Reveal svar Skjul svar

Ligning 1: a = 14

Ligning 2: a = 27

Ligning 3: a = -4, 5

Ligning 4: a = 14

Bemærkninger:

Lad dine elever komme frem i klassen og vise alle andre de teknikker, de plejede at løse for værdien af ​​a i hver ligning. Påmind dem om at dokumentere hvert trin i processen, så intet er tilbage for at gætte eller tilfældige.

Spørgsmål 15

Løs for værdien af ​​x i de følgende ligninger:

x + 5


2

= 20 x =

6 =


x - 2

x =

Reveal svar Skjul svar

x + 5


2

= 20 x = 35

6 =


x - 2

x = 38

Bemærkninger:

Lad dine elever komme frem i klassen og vise alle andre de teknikker, de plejede at løse for værdien af ​​x i hver ligning. Påmind dem om at dokumentere hvert trin i processen, så intet er tilbage for at gætte eller tilfældige.

Spørgsmål 16

Løs for værdien af ​​x i de følgende ligninger:

2 (x + 5) = 36 x =

3 =


2 - x

x =

Reveal svar Skjul svar

2 (x + 5) = 36 x = 13

3 =


2 - x

x = -7

Bemærkninger:

Lad dine elever komme frem i klassen og vise alle andre de teknikker, de plejede at løse for værdien af ​​x i hver ligning. Påmind dem om at dokumentere hvert trin i processen, så intet er tilbage for at gætte eller tilfældige.

Spørgsmål 17

Manipulere hver af disse ligninger for at løse for:

b - a


c

= d


a + b

= c 2 d

Reveal svar Skjul svar

a = b - cd a = c 4 d 2 - b

Bemærkninger:

Lad dine elever komme frem i klassen og vise alle andre de teknikker, de plejede at løse for en i hver ligning. Påmind dem om at dokumentere hvert trin i processen, så intet er tilbage for at gætte eller tilfældige.

Spørgsmål 18

Manipulere hver af disse ligninger for at løse for:

a - b


c

= d 2 b + a 2 = c


d

Reveal svar Skjul svar

a = cd 2 + ba = √


c


d

- b

Bemærkninger:

Lad dine elever komme frem i klassen og vise alle andre de teknikker, de plejede at løse for en i hver ligning. Påmind dem om at dokumentere hvert trin i processen, så intet er tilbage for at gætte eller tilfældige.

Spørgsmål 19

Beregn alle strømme i dette DC-kredsløb:

Tip: Det kan hjælpe dig med at oprette den nødvendige ligning ved at mærke strømmen gennem den nedre modstand som jeg og strømmen gennem den øvre modstand som jeg + 0.005.

Reveal svar Skjul svar

Øvre modstandsstrøm = 8, 5 mA; lavere modstandsstrøm = 3, 5 mA

Bemærkninger:

Dette er et interessant kredsløb for at matematisk analysere. Selvom der ikke kræves samtidige ligninger, eller endda et netværkssætning som Superposition eller Thévenins, er det ikke desto mindre en god øvelse i anvendelsen af ​​grundloven i kredsløbsanalyse (Ohms, Kirchhoffs) og algebra.

  • ← Forrige regneark

  • Regneark Indeks

  • Næste regneark →