Algebraisk substitution for elektriske kredsløb

Nassim Haramein 2015 - The Connected Universe (Juni 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Algebraisk substitution for elektriske kredsløb

Matematik til elektronik


Spørgsmål 1

Der er to grundlæggende Ohms lovligninger: en relateret spænding, strøm og modstand; og den anden vedrører spænding, strøm og strøm (sidstnævnte ligning er undertiden kendt som Joule's Law i stedet for Ohms lov):

E = IR

P = IE

I elektronik lærebøger og referencebøger finder du tolv forskellige variationer af disse to ligninger, en løsning for hver variabel i form af et unikt par to andre variabler. Du behøver dog ikke at huske alle tolv ligninger, hvis du har evnen til algebraisk at manipulere de to simple ligninger vist ovenfor.

Demonstrere, hvordan algebra bruges til at udlede de ti andre "former for de to Ohms lov / Joule's lovligninger, der er vist her.

Reveal svar Skjul svar

Jeg vil ikke vise dig, hvordan man gør de algebraiske manipulationer, men jeg vil vise dig de ti andre ligninger. For det første er de ligninger, der kan stamme strengt fra E = IR:

I = E


R

R = E


jeg

Dernæst kan de ligninger, der kan stamme strengt fra P = IE:

I = P


E

E = P


jeg

Dernæst kan de ligninger, der kan udledes ved anvendelse af algebraisk substitution mellem de to første ligninger, der er givet i spørgsmålet:

P = I2R

P = E 2


R

Og endelig, de ligninger, der kan være afledt af manipulering af de sidste to magtligninger:

R = P


I 2

I = √


P


R

E =


PR

R = E 2


P

Bemærkninger:

Algebra er et yderst vigtigt værktøj på mange tekniske områder. En god ting ved studiet af elektronik er, at det giver en relativt enkel sammenhæng, hvori grundlæggende algebraiske principper kan læres (eller i det mindste belyst).

Det samme kan siges for beregningskoncepter også: Grundlæggende principper for derivat og integral (med hensyn til tid) kan let anvendes på kondensator og induktorkredsløb, der giver eleverne en tilgængelig kontekst, hvori disse ellers abstrakte begreber kan forstås. Men beregning er et emne for senere regnearkspørgsmål. . .

Spørgsmål 2

Q-faktoren for et serie induktivt kredsløb er givet ved følgende ligning:

Q = X L


R- serien

Ligeledes ved vi, at induktiv reaktans kan findes ved følgende ligning:

X L = 2 μl L

Vi ved også, at resonansfrekvensen af ​​et serie LC kredsløb er givet af denne ligning:

f r = 1


2 π


LC

Gennem algebraisk substitution, skriv en ligning, der giver Q-faktoren for et serie resonant LC kredsløb udelukkende i form af L, C og R, uden henvisning til reaktans (X) eller frekvens (f).

Reveal svar Skjul svar

Q = 1


R

 √


L


C

Bemærkninger:

Dette er blot en øvelse i algebra. Men det er en værdifuld og praktisk indsigt at vide, hvordan disse tre komponentværdier påvirker Q-faktoret i et resonanskredsløb!

Spørgsmål 3

Vi ved, at strømmen i et serie kredsløb kan beregnes med denne formel:

I = E total


R totalt

Vi ved også, at spændingen faldt over en enkelt modstand i en serie kredsløb kan beregnes med denne formel:

E R = IR

Kombiner disse to formler i en sådan, at I-variablen elimineres, idet kun E R udtrykkes i E total, R total og R.

Reveal svar Skjul svar

E R = E total  R


R totalt

 ⎠

Opfølgningsspørgsmål: Algebraisk manipulere denne ligning for at løse E totalt i forhold til alle de andre variabler. Vis med andre ord, hvordan du kan beregne for den samlede spænding, der er nødvendig for at producere et bestemt spændingsfald (E R ) på tværs af en specificeret modstand (R), givet den totale kredsløbsresistens (R total ).

Bemærkninger:

Skønt denne "spændingsdelerformel" kan findes i et hvilket som helst antal elektroniske referencebøger, skal dine elever forstå, hvordan man algebraisk kan manipulere de givne formler for at nå frem til denne.

Spørgsmål 4

Substitution er en teknik, hvor vi lader en variabel repræsentere (stå i stedet for) en anden variabel eller et udtryk lavet af andre variabler. En applikation, hvor vi måske bruger substitution, er, når vi skal manipulere et algebraisk udtryk, der indeholder mange lignende udseende variabler, som det ofte er tilfældet med videnskabsproblemer.

Tag denne serie-parallel modstand kredsløb for eksempel:

Ligningen, som udtrykker total modstand som en funktion af de fire modstandsværdier, ser ud som dette:

R totalt = R 1 + R2 (R3 + R4)


R2 + R3 + R4

Forestil dig nu at blive bedt om at manipulere denne ligning for at løse for R3. Når den eneste visuelle egenskab der skelner mellem hver variabel er abonnementet ( totalt, 1, 2, 3 eller 4 ) bliver det meget nemt at miste spor af, hvor man er i algebraisk manipulation. En meget almindelig fejl er at udveksle eller unødvendigt gentage abonnementer under processen, effektivt at placere en eller flere variabler effektivt. For at undgå sådanne fejl kan du erstatte forskellige bogstavvariabler for R totalt, R 1, R 2, R 3 og R 4 som denne:

Udskiftningstabel


Original variabelNy variabel


R totalty


R1-en


R2b


R3c


R4d


y = a + b (c + d)


b + c + d

Efter at den algebraiske manipulation har fundet sted for at løse c (R3), ser ligningen sådan ud:

c = (y-a) (b + d) - bd


a + b - y

Tilbage-erstat de originale R-variabler i stedet for a, b, c, d og y som du ser dem i ovenstående ligning for at komme frem til en formular, der direkte vedrører skematisk diagram.

Reveal svar Skjul svar

R3 = (R total- R1) (R2 + R4) - R2R4


R 1 + R2 - R totalt

Udfordringsspørgsmål: Vis alle de trin, du ville tage for at løse R 3 i den oprindelige ligning.

Bemærkninger:

Her viser jeg en substitution, der kun er nyttig, fordi den menneskelige hjerne har svært ved at skelne mellem lignende udseende symboler. Mere magtfulde anvendelser af algebraisk substitution eksisterer selvfølgelig, men det er en start for studerende, der aldrig har set konceptet før.

Spørgsmål 5

Substitution er en teknik, hvor vi lader en variabel repræsentere (stå i stedet for) en anden variabel eller et udtryk lavet af andre variabler. En applikation, hvor vi måske bruger substitution, er, når vi skal manipulere et algebraisk udtryk indeholdende flere forekomster af samme subekspression. Antag for eksempel, at vi skulle manipulere denne ligning for at løse c:

1 = a + b (d 2 - f 2 ) + c


d 2 - f 2

Sub-udtrykket d 2 - f 2 vises to gange i denne ligning. Ville det ikke være dejligt, hvis vi havde noget enklere at sætte på plads i løbet af den tid, vi havde travlt med at manipulere ligningen, hvis det af anden grund end at have færre variabler at skrive på vores papir, mens vi viser alle trin til vores arbejde " # 5 "> Reveal svar Skjul svar

Oprindelig ligning:

1 = a + b (d 2 - f 2 ) + c


d 2 - f 2

Efter at have erstattet x:

1 = a + bx + c


x

Efter manipulation af ligningen for at løse for c:

c = x (1-b) - a

Tilbage-erstatter det originale sub-udtryk i stedet for x:

c = (d2-f2) (1-b) - a

Bemærkninger:

Her viser jeg en substitutionsansøgning, som kun er nyttig, fordi den menneskelige hjerne har en nemmere tid at beskæftige sig med et enkelt symbol end med en samling af forskellige symboler. Mere magtfulde anvendelser af algebraisk substitution eksisterer selvfølgelig, men det er en start for studerende, der er nye til konceptet.

Spørgsmål 6

Substitution er det udtryk, vi giver til den matematiske ækvivalens af en variabel til en eller flere andre variabler i en ekspression. Det er et grundlæggende princip, der bruges til at kombinere to eller flere ligninger i en enkelt ligning (blandt andet).

For eksempel ved vi, at formlen til beregning af strøm i et simpelt en-modstandskredsløb er som følger:

Vi ved også, at den totale modstand (R) for et tre-modstandsserie kredsløb er som følger:

Kombiner disse to ligninger sammen ved hjælp af substitution, så vi har en enkelt ligning til beregning af strøm I i et tre-modstandsserie kredsløb givet kildespændingen V og hver modstandsværdi R1, R2 og R3:

Med andre ord skal du som svar have en enkelt ligning, der begynder med "I =" og har alle variablerne V, R1, R2 og R3 på den anden side af "ëqual" -tegnet.

Reveal svar Skjul svar

I = V


R1 + R2 + R3

Bemærkninger:

Jeg kan godt lide at tale om substitutionsprocessen i form af definitioner for variabler. I dette særlige tilfælde er R 1 + R 2 + R 3 en definition for R, som vi sætter R's sted i den første ligning (I = V / R ).

Notationen vist i den tredje skematiske, I = f (V, R1, R2, R3), er kendt som funktionsnotation . Det betyder blot, at værdien af ​​jeg bestemmes af værdierne af alle disse variabler inden for parenteserne, snarere end kun en.

Spørgsmål 7

Vi ved, at spændingen i et parallel kredsløb kan beregnes med denne formel:

E = I total R totalt

Vi ved også, at strømmen gennem en enkelt modstand i et parallel kredsløb kan beregnes med denne formel:

I R = E


R

Kombiner disse to formler i en sådan, at E-variablen elimineres, idet kun I R udtrykkes i forhold til I total, R totalt og R.

Reveal svar Skjul svar

I R = I i alt  R totalt


R

 ⎠

Hvordan er denne formel ens, og hvordan er den anderledes, fra "spændingsdeler" -formlen "noter skjult"> Noter:

Selv om denne "nuværende divider formel" findes i et hvilket som helst antal elektroniske referencebøger, skal dine elever forstå, hvordan man algebraisk kan manipulere de givne formler for at nå frem til denne.

I starten kan det virke som om de to divideringsformler (spænding versus strøm) er let at forvirre. Er det (R / (R total )) eller ((R total ) / R)? Der er imidlertid en meget enkel måde at huske på, hvilken brøkdel der hører til hvilken formel, baseret på den numeriske værdi af den brøkdel. Næv dette til dine elever, og mindst en af ​​dem vil være sikker på at genkende mønsteret.

Spørgsmål 8

Antag at vi kun kendte emitteren og basisstrømmene for en driftstransistor og ønskede at beregne β fra disse oplysninger. Vi ville have brug for en definition af beta-cast i form af I E og I B i stedet for I C og I B.

Anvend algebraisk substitution med formlen β = ((I C ) / (I B )), så at beta (β) er defineret i form af I E og I B. Du kan finde følgende ligning nyttige i dit arbejde:

I E = I C + I B

Reveal svar Skjul svar

β = Jeg E


Jeg B

- 1

Bemærkninger:

Dette spørgsmål er ikke mere end en øvelse i algebraisk manipulation.

Spørgsmål 9

Modstanden af ​​et stykke kobbertråd ved temperatur T (i grader Celsius) er givet ved følgende formel:

R T = R o (1 + 0, 004041 (T - 20))

Antag at du ønskede at ændre denne formel, så det kunne acceptere værdier for T i enheder af grader Fahrenheit i stedet for grader Celsius. Antag også, at den eneste formel du kan finde for at konvertere mellem Fahrenheit (T F ) og Celsius (T C ) er denne:

T F = T C  9


5

 ⎠ + 32

Kombineret disse to formler til en opløsning for resistensen af ​​en kobbertrådsprøve (R T ) ved en bestemt temperatur i grader Celsius (T C ), idet prøven er "reference" modstand (R o ) ved 20 o C (rumtemperatur) .

Reveal svar Skjul svar

R T = R o. 1 + 0, 004041  5


9

T F - 37.


77

 ⎠ 

Bemærkninger:

Løsning af dette algebraiske problem kræver både manipulation af temperaturligningen og substitution af variabler. En vigtig detalje, jeg indarbejdede i dette spørgsmål, er manglen på et abonnement for T i den oprindelige modstandsformel. I den første sætning identificerer jeg den temperatur som i grader Celsius, men da der ikke er andre T-variabler i ligningen, behøvede jeg ikke at inkludere et "C" abonnement. Når eleverne ser på Celsius-Fahrenheit-konverteringsformlen for at erstatte modstandsformlen, skal de bestemme, hvilken T i konverteringsformlen der skal bruges, T F eller T C. Her skrev jeg hensigtsmæssigt konverteringsformlen med hensyn til T F for at se, hvor mange studerende blindt ville erstatte T F for T i modstandsformlen i stedet for korrekt at identificere T C som variablen til at erstatte og gøre manipulationsarbejdet.

Langt fra at være et "trick" spørgsmål, er dette scenario meget realistisk. Formler, der findes i reference manualer, bruger ikke nødvendigvis standardiserede variabler, men kaster deres variabler i stedet efter kontekst. Flere formler vil sandsynligvis ikke blive skrevet med identiske abonnementer, der bare venter på at blive erstattet. Det er domænet for den intelligente tekniker, ingeniør eller videnskabsmand at finde ud af, hvilke variabler der er hensigtsmæssige at substituere på baggrund af kontekst!

Spørgsmål 10

En bipolar krydsetransistorparameter ligner β er älpha, "symboliseret af det græske bogstav α. Det defineres som forholdet mellem kollektorstrøm og emitterstrøm:

a = Jeg C


Jeg E

Anvend algebraisk substitution på denne formel, så alfa defineres som en funktion af beta: α = f (β). Med andre ord, erstatte og manipulere denne ligning, indtil du har alpha i sig selv på den ene side og ingen variabel undtagen beta på den anden.

Du kan finde følgende ligninger nyttige i dit arbejde:

β = Jeg C


Jeg B

I E = I C + I B

Reveal svar Skjul svar

a = β


p + 1

Opfølgningsspørgsmål: Hvilke værdier kan du forvente for α, med en typisk transistor?

Bemærkninger:

Dette spørgsmål er ikke mere end en øvelse i algebraisk manipulation.

Spørgsmål 11

Q- eller kvalitetsfaktoren for et induktorkredsløb er defineret af følgende ligning, hvor X s er induktionsreaktansen i serie og R s er serieresistensen:

Q = X s


R s

Vi ved også, at vi måske konverterer mellem serier og parallelle ækvivalente vekselnet med følgende konverteringsligninger:

R s R p = Z 2 X s X p = Z 2

Serier og parallelle LR-netværk, hvis de virkelig svarer, skal dele den samme Q-faktor samt dele samme impedans. Udvikle en ligning, der løser Q-faktoren for et parallel LR kredsløb.

Reveal svar Skjul svar

Q = R s


X p

Opfølgningsspørgsmål: Hvilken tilstand giver den største værdi for Q, en lav parallel modstand eller en høj parallel modstand "// www.allaboutcircuits.com/textbook/alternating-current/chpt-3/series-resistor-inductor-circuits/ "> serie LR kredsløb, og forklar begge scenarier.

Bemærkninger:

Dette er primært en øvelse i algebraisk substitution, men det udfordrer også eleverne til at tænke dybt om Qs karakter og hvad det betyder, især i opfølgningsspørgsmålet.

Spørgsmål 12

Ligningen vedrørende sandsynligheden for fortsat ydeevne for en komponent eller et system versus tid kan udtrykkes som følger:

x = e- t / m

Hvor,

x = Sandsynlighed (et tal mellem 0 og 1 inklusive)

e = Eulers konstant (≈ 2.7182818)

t = Tid for kontinuerlig drift

m = Middeltid mellem manglende komponent eller system

Tidsenheden for både t og m skal være den samme. Det vil sige, hvis t måles i år, så må m også udtrykkes i år, ellers vil ligningen give meget vildledende svar.

Antag, at vi fik m i år, og driftstiden t i dage . Erstat forholdet t d = 365 t y i pålidelighedsligningen, så vi får en ny ligning, der kan tage t i dage (t d ) og m i år, og stadig give det korrekte svar.

Reveal svar Skjul svar

x = e- t d / 365 m

Bemærkninger:

Dette er virkelig ikke mere end en simpel øvelse i matematisk substitution.

Ligningen kom fra Standardhåndbogen for Engineering Beregnelser af Tyler G Hicks, PE (1972), side 5-21.

Spørgsmål 13

Den spændingsafhængige kapacitans af en varaktordiode er givet ved følgende ligning:

C j = C o



2V + 1

Hvor,

C J = Junction kapacitans

C o = Koblingskapacitet uden spænding

V = Anvendt omvendt forbindelsespænding

Kombiner denne ligning med standardekvationen for frekvens i et resonant LC kredsløb for at komme frem til en ny ligning, der giver resonansfrekvensen i form af C o, V og L.

Reveal svar Skjul svar

f r = 1


2 π √


LC o


√ {2V + 1}

Bemærkninger:

Spørg dine elever om hvilken type kredsløb denne ligning kan gælde for.

  • ← Forrige regneark

  • Regneark Indeks

  • Næste regneark →