Grundlæggende algebra og grafer for elektriske kredsløb

Grundlæggende - Brøkregneregler (Juni 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Grundlæggende algebra og grafer for elektriske kredsløb

Matematik til elektronik


Spørgsmål 1

Mange forskellige ligninger anvendt i analysen af ​​elektriske kredsløb kan graferes. Tag f.eks. Ohms lov for en 1 kΩ modstand:

Plot denne graf efter Ohms lov. Derefter plotte en anden graf, der repræsenterer spænding / strømforholdet for en 2 kΩ modstand.

Reveal svar Skjul svar

Bemærkninger:

Bed dine elever om at forklare, hvordan de plottet de to funktioner. Har de lavet en tabel med værdier første "panelpanelpanelets standardpanel" standardcope>

Spørgsmål 2

Mange forskellige ligninger anvendt i analysen af ​​elektriske kredsløb kan graferes. Tag f.eks. Ohms lov for en variabel modstand forbundet til en 12 volt kilde:

Plot denne graf efter Ohms lov.

Reveal svar Skjul svar

Bemærkninger:

Bed dine elever om at forklare, hvordan de plottet de to funktioner. Har de lavet en tabel med værdier første "panelpanelpanelets standardpanel" standardcope>

Spørgsmål 3

Overhold følgende ækvivalens:

4 3 × 4 2 = (4 × 4 × 4) × (4 × 4)

Da alle operationer er de samme (multiplikation) og reversibel, er parenteserne ikke nødvendige. Derfor kan vi skrive udtrykket som dette:

4 × 4 × 4 × 4 × 4

Selvfølgelig er den enkleste måde at skrive dette på 4 5, da der er fem 4 gange ganget sammen.

Udvid hvert af disse udtryk, så der heller ikke er nogen eksponenter:

3 5 × 3 2 =
10 4 × 10 3 =
8 2 × 8 3 =
20 1 × 20 2 =

Efter at have udvidet hvert af disse udtryk skal du skrive hver enkelt i enkleste form: Et tal til en kraft, ligesom den endelige form af eksemplet (4 5 ). Ud fra disse eksempler, hvilket mønster kan du se med eksponenter for produkter. Med andre ord, hvad er den generelle løsning på følgende udtryk?

a m × a n =

Reveal svar Skjul svar

en m × a n = a m + n

Bemærkninger:

Jeg har fundet ud af, at elever, der ikke kan forstå den generelle regel (a m × a n = a m + n ) ofte forstår for første gang, når de ser konkrete eksempler.

Spørgsmål 4

Overhold følgende ækvivalens:

4 3


4 2

= 4 × 4 × 4


4 × 4

Det skal klart fremgå, at vi kan annullere to mængder fra både top og bund af fraktionen, så i sidste ende er vi tilbage med dette:

4


1

Genskrivning af dette ved hjælp af eksponenter får vi 4 1 .

Udvid hvert af disse udtryk, så der heller ikke er nogen eksponenter:

((3 5 ) / (3 2 )) =
((10 6 ) / (10 4 )) =
((8 7 ) / (8 3 )) =
((20 5 ) / (20 4 )) =

Efter at have udvidet hvert af disse udtryk skal du skrive hver enkelt i enkleste form: Et tal til en kraft, ligesom den endelige form af eksemplet (4 1 ). Ud fra disse eksempler, hvilket mønster kan du se med eksponenter for produkter. Med andre ord, hvad er den generelle løsning på følgende udtryk?

en m


en n

=

Reveal svar Skjul svar

en m


en n

= en m-n

Bemærkninger:

Jeg har fundet ud af, at studerende, der ikke kan forstå den generelle regel ((( m ) / (a n )) = a m-n ) ofte forstår for første gang, når de ser konkrete eksempler.

Spørgsmål 5

Overhold følgende ækvivalens:

4 2


4 3

= 4 × 4


4 × 4 × 4

Det skal klart fremgå, at vi kan annullere to mængder fra både top og bund af fraktionen, så i sidste ende er vi tilbage med dette:

1


4

Efter reglen af ​​((a m ) / (a n )) = a m-n, bør reduktionen af ​​((4 2 ) / (4 3 )) være 4 -1 . Mange elever finder det forvirrende, da det intuitive koncept af eksponenter (hvor mange gange et tal skal multipliceres med sig selv) fejler her. Hvordan i verden multiplicerer vi 4 i sig selv -1 gange ?!

Udvid hvert af disse udtryk, så der heller ikke er nogen eksponenter:

((3 2 ) / (3 5 )) =
((10 4 ) / (10 6 )) =
((8 3 ) / (8 7 )) =
((20 4 ) / (20 5 )) =

Efter at have udvidet hvert af disse udtryk, skriv hver enkelt i enkleste form: Et tal til en kraft, ligesom den endelige form af eksemplet (4 -1 ), der følger reglen ((a m ) / (a n ) ) = en m-n . Af disse eksempler kan du forstå, hvad der er let at forstå, for at beskrive negative eksponenter?

Udvid også følgende udtryk, så der ikke er eksponenter, og skriv derefter resultatet i eksponentform efter reglen ((a m ) / (a n )) = a m-n :

5 3


5 3

Hvad fortæller dette dig om eksponenter på nul?

Reveal svar Skjul svar

En negativ eksponent er simpelthen den gensidige (1 / x) af sin positive modstykke. En nuleksponent er altid lig med 1.

Bemærkninger:

Jeg har fundet ud af, at studerende, der ikke kan forstå betydningen af ​​negative eller nul eksponenter, ofte forstår straks, når de bygger deres egen definition ud fra den generelle regel ((( m ) / (a n )) = a m-n ).

Spørgsmål 6

Når du vurderer (beregner) et matematisk udtryk, hvilken rækkefølge skal du gøre de forskellige udtryk i? Med andre ord, som kommer først: multiplikation, division, addition, subtraktion, magt, rødder, parenteser osv .; og så hvad kommer der efter, og efter det?

Reveal svar Skjul svar

Gør hvad der er inden for parentes først (de fjerneste "indvendige" parenteser, hvis der er flere lag parenteser), magter og rødder, funktioner (trig, log osv.), Multiplikation / division og endelig addition / subtraktion.

Bemærkninger:

Operationsordren er ekstremt vigtig, da det bliver kritisk at genkende korrekt ordre af evaluering, når "stripping" et udtryk ned for at isolere en bestemt variabel. I det væsentlige er den normale rækkefølge af operationer vendt, når "undo" et udtryk, så eleverne skal genkende, hvad den korrekte rækkefølge af operationer er.

Spørgsmål 7

Følg ordentlig rækkefølge for at evaluere disse udtryk:

13 + 2


3

+ 8 = 25 + (3 + 2) 2 × 2 =

Reveal svar Skjul svar

13 + 2


3

+ 8 = 13 25 + (3 + 2) 2 × 2 = 75

Bemærkninger:

Intet særligt her - bare enkle aritmetiske problemer, der ikke kan løses korrekt, medmindre korrekt ordre af operationer følges.

Spørgsmål 8

Følg ordentlig rækkefølge for at evaluere disse udtryk:

15 - 3


3

+ 7 = 20 + (1 + 3) 2 × 3 =

Reveal svar Skjul svar

15 - 3


3

+ 7 = 11 20 + (1 + 3) 2 × 3 = 68

Bemærkninger:

Intet særligt her - bare enkle aritmetiske problemer, der ikke kan løses korrekt, medmindre korrekt ordre af operationer følges.

Spørgsmål 9

Ved evaluering af et udtryk som dette er det meget vigtigt at følge ordens orden. Ellers vil det korrekte resultat være umuligt at komme til:

3 log2 5 + 14

For at vise, hvad den korrekte rækkefølge er for dette udtryk, viser jeg det evalueres trin for trin her

3 log2 5 + 14

3 log32 + 14

3 × 1.5051 + 14

4.5154 + 14

18, 5154

Gør det samme for hvert af følgende udtryk:

10 - 25 × 2 + 5
-8 + 10 3 × 51
12 4 × (3 + 11)
21 (7 - 4) × 40
log √ {6 + 35 2 }
√ {((220/16) - 2, 75) × 2}


Fodnoter:

Af den måde er dette en stærkt anbefalet praksis for dem, der kæmper med matematiske principper: dokument hvert trin ved at skrive om udtrykket igen. Selv om det kræver mere papir og mere indsats, vil det spare dig for overflødig fejl og frustration
!

Reveal svar Skjul svar

Jeg lader dig bestemme og dokumentere den korrekte rækkefølge af operationer, men her er resultaterne af hvert udtryk:

10 - 25 × 2 + 5 = -35
-8 + 10 3 × 51 = 50992
12 4 × (3 + 11) = 290304
21 ( 7-4 ) × 40 = 370440
log √ {6 + 35 2 } = 1.5451
√ {((220/16) - 2, 75) × 2} = 4, 6904

Bemærkninger:

Operationsorden er ekstremt vigtig, da det bliver kritisk at genkende korrekt evalueringsordre, når ßtripping "et udtryk ned for at isolere en bestemt variabel. I det væsentlige er den normale rækkefølge af operationer omvendt, når man ændrer "et udtryk, så eleverne skal erkende, hvad den korrekte rækkefølge er.

Spørgsmål 10

Udfør følgende beregninger:

8 12


8 10

= 5 3


5 4

= (2 4 ) (2 -1 ) =

Reveal svar Skjul svar

8 12


8 10

= 64 5 3


5 4

= 1


5

= 0, 2 (2 4 ) (2 -1 ) = 8

Bemærkninger:

Intet særligt her, bare træne med eksponenter.

Spørgsmål 11

Udfør følgende beregninger:

10 6


10 3

= 3 2


3 3

= (2 6 ) (2 -4 ) =

Reveal svar Skjul svar

10 6


10 3

= 1000 3 2


3 3

= 1


3

≈ 0, 333 (2 6 ) (2 -4 ) = 4

Bemærkninger:

Intet særligt her, bare træne med eksponenter.

Spørgsmål 12

Ligningen til beregning af total modstand i et parallel kredsløb (for et hvilket som helst antal parallelle modstande) er undertiden skrevet som dette:

R total = (R 1 -1 + R 2 -1 +

.

Rn- 1 ) -1

Skriv denne ligning på en sådan måde, at den ikke længere indeholder nogen eksponenter.

Reveal svar Skjul svar

R totalt = 1


1


R1

+ 1


R2

+

.

1


R n

Bemærkninger:

Dette spørgsmål er en øvelse i grundalgebra, specifikt betydningen af ​​negative eksponenter.

Spørgsmål 13

En funktion er et matematisk forhold med en input (normalt x) og en output (normalt y). Her er et eksempel på en simpel funktion:

y = 2x + 1

En måde at vise mønsteret på en given funktion er med et talbord. Udfyld denne tabel for de givne værdier af x:


x2x + 1


0


1


2


3


4


5


En mere almindelig (og intuitiv) måde at vise mønsteret for en given funktion er med en graf . Udfyld denne graf for den samme funktion y = 2x + 1. Overvej hver division på akserne til 1 enhed:

Reveal svar Skjul svar


x2x + 1


01


13


25


37


49


511


Bemærkninger:

Det er meget vigtigt for dine elever at forstå grafer, da de ofte bruges til at illustrere adfærd af kredsløb og matematiske funktioner ens. Diskuter med dem, hvordan linjen repræsenterer en kontinuerlig streng af punkter og ikke kun de heltalværdier, der beregnes i tabellen.

Spørgsmål 14

En berømt illustrativ historie for at forstå eksponenter går noget som dette:

En pauper redder livet af en konge. Til gengæld tilbyder kongen pauperen noget, han ønsker som en belønning. Pauperen, der er en skarp mand, fortæller kongen, at han ikke vil have meget, kun et riskorn i dag, så fordoble det (to korn ris) den næste dag, så fordob det (fire korn ris) den næste dag, og så videre. Kongen spørger, hvor længe han skal give opdrættet ris, og pæleren reagerer ved at sige en dag for hver firkant på et skakbræt (64 dage). Dette lyder ikke så meget til kongen, som aldrig tog matematik kursus, og så er han enig.

På kun kort tid finder kongen sig selv konkurs til opdrætteren, fordi mængden af ​​ris er så enormt stor. Sådan er karakteren af ​​eksponentielle funktioner: de vokser utrolig store med beskedne gevinster i x.

Grafer pauperens risfunktion (y = 2 x ), hvor hver division på den vandrette akse repræsenterer 1 enhed og hver division på den lodrette akse repræsenterer 100 enheder.

Reveal svar Skjul svar

Opfølgningsspørgsmål: Hvad synes du, at denne graf vil se ud til negative værdier af x "noter gemt"> Noter:

Fra den viste graf kan det forekomme, at funktionen nærmer sig 0, da x nærmer sig nul. Dette er ikke tilfældet, som en simpel beregning (y = 2 0 ) viser. For at eleverne skal kunne se, hvad der foregår nær oprindelsen, skal de omregulere grafen.

Spørgsmål 15

Match hver skriftlig funktion (y =

.

) med den skitserede graf passer den bedst:

y = 3x + 2 y = 5 - 2x

y = x 2 y = 2 x

Reveal svar Skjul svar

Bemærkninger:

Det primære formål med dette spørgsmål er at få eleverne til at finde ud af, hvordan man kan matche hvert udtryk til en graf. Selvfølgelig kan man tage tid til at plotte hver funktion en efter en, men der findes meget enklere måder at bestemme "karakteren" af en funktion uden at plotte det hele.

Spørgsmål 16

Match hver skriftlig funktion (y =

.

) med den skitserede graf passer den bedst:

y = 5x - 2 y = 1 - 3x

y = x 3 y = 3 x

Reveal svar Skjul svar

Bemærkninger:

Det primære formål med dette spørgsmål er at få eleverne til at finde ud af, hvordan man kan matche hvert udtryk til en graf. Selvfølgelig kan man tage tid til at plotte hver funktion en efter en, men der findes meget enklere måder at bestemme "karakteren" af en funktion uden at plotte det hele.

  • ← Forrige regneark

  • Regneark Indeks

  • Næste regneark →