Binær matematik

Det binære talsystem (Juni 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Binær matematik

Digitale kredsløb


Spørgsmål 1

Tælleøvelse: Tæl fra nul til enogtredive i binær, oktal og hexadecimal:

Reveal svar Skjul svar

Ingen svar givet her - sammenlign med dine klassekammerater!

Bemærkninger:

For at gøre eleverne bekendte med disse "mærkelige" talesystemer, vil jeg gerne begynde hver dag med digital kredsløbsinstruktion med tællerpraksis. Studerende skal være flydende i disse talesystemer, når de er færdige med at studere digitale kredsløb!

Et forslag, jeg giver eleverne mulighed for at hjælpe dem med at se mønstre i tællesekvenserne, er "pudse" tallene med førende nul, så alle tal har samme antal tegn. For eksempel, i stedet for at skrive "10" for det binære nummer to, skriv "00010". På den måde bliver mønstrene for karaktercyklering (især binær, hvor hver successivt højere værdi-bit har halvdelen af ​​frekvensen af ​​den før den) mere tydelig at se.

Spørgsmål 2

Tilføj følgende binære tal:

Reveal svar Skjul svar

Bemærkninger:

Bed dine elever om at beskrive hvilke forskelle der findes mellem manuelt at tilføje binære tal og manuelt at tilføje decimaltal, hvis nogen.

Spørgsmål 3

Hvis tallene seksten og ni tilføjes i binær form, vil svaret være anderledes, end hvis de samme mængder tilføjes i decimaltype "# 3"> Reveal svar Skjul svar

Nej. Nummeret, der bruges til at repræsentere tal, har ingen betydning for resultatet af matematiske operationer.

Bemærkninger:

Selvom dette kan virke som et trivielt spørgsmål, har jeg mødt elektronikteknikere, som faktisk troede, at formularen havde påvirket resultatet af visse matematiske operationer. Navnlig mødte jeg en fyr, der troede, at tallet π var fundamentalt forskelligt i binær form, end det var i decimalform: at en binær "pi" ikke var den samme mængde som en decimal "pi". Jeg udfordrede hans tro ved at anvende nogle socratiske ironier:

Me: Hvordan bruger du en håndregnemaskine til at bestemme omkredsen af ​​en cirkel med sin diameter? For eksempel har en cirkel med en diameter på 5 fod en omkreds af. . . Ham: Ved at gange diametertiderne "pi". 5 fods gange "pi" er lidt over 15 fod. Mig: giver en regnemaskine dig det rigtige svar? Han: Det gør det selvfølgelig. Me: Bruger en elektronisk regnemaskine decimaltal internt for at lave matematik? Ham: Nej, det bruger binære tal, fordi dets kredsløb består af logiske porte. . . (lang pause) . . . Åh, nu ser jeg! Hvis typen af ​​nummer system, der har betydning for matematik, digitale computere og regnemaskiner, ville komme til forskellige svar på aritmetiske problemer, end vi ville lave matematikken for hånden!

Selvfølgelig forstår de, der er bekendt med computerprogrammering og numerisk analyse, at digitale computere kan introducere "artefakter" i beregne resultater, som ikke er matematisk korrekte. Dette skyldes imidlertid ikke deres brug af binær tal, så meget som det er begrænsede ordbredder (der fører til overløbsbetingelser), algoritmiske problemer, der konverterer flydende punkt til heltal og visum versa og sådan.

Spørgsmål 4

Hvad er ens komplement til et binært tal? Hvis du skulle beskrive dette princip til en person, der lige har lært, hvad binære tal er, hvad ville du sige?

Bestem ens komplement for følgende binære tal:

10001010 2
11010111 2
11110011 2
11111111 2
11111 2
00000000 2
00000 2
Reveal svar Skjul svar

10001010 2 : Ens komplement = 01110101 2
11010111 2 : Ens komplement = 00101000 2
11110011 2 : ens komplement = 00001100 2
11111111 2 : Ens komplement = 00000000 2
11111 2 : Ens komplement = 00000 2
00000000 2 : ens komplement = 11111111 2
00000 2 : Ens komplement = 11111 2

Opfølgningsspørgsmål: Er ens komplement 11111111 2 identisk med ens komplement af 11111 2 ? Hvad med ens komplementer på 00000000 2 og 00000 2 ? Forklare.

Bemærkninger:

Princippet om et "ens komplement" er meget, meget enkelt. Giv ikke dine elever nogen hints om teknikken til at finde et ens komplement. Snarere, lad dem undersøge det og præsentere det for dig selv!

Sørg for at diskutere opfølgningsspørgsmålet om ens komplement af binære tal med forskellige bredder. Der er en meget vigtig lektion at lære her!

Spørgsmål 5

Bestem de to komplementer af binært nummer 01100101 2 . Forklar, hvordan du gjorde konverteringen, trin for trin.

Dernæst bestem de to komplementrepræsentation af mængden fem for et digitalt system, hvor alle tal er repræsenteret af fire bits, og også for et digitalt system, hvor alle tal er repræsenteret af otte bits (en byte ). Identificer forskellen, at "ordlængde" (antallet af bits, der er allokeret til at repræsentere mængder i et bestemt digitalt system), gør det muligt at bestemme de to komplementer af et hvilket som helst tal.

Reveal svar Skjul svar

De to komplement på 01100101 er 10011011.

De to komplement på fem er 1011 i fire-bits systemet. Det er 11111011 i otte-bit systemet.

Bemærkninger:

Spørgsmålet om ordlængde er ekstremt vigtigt. Man kan ikke komme til et bestemt to komplement for et tal, medmindre ordlængden først er kendt!

Spørgsmål 6

I et computersystem, der repræsenterer alle heltalskvoter ved hjælp af to komplementformularer, har den væsentligste bit en negativ pladsvægt. For et otte-bit system er vægtenes placering som følger:

I betragtning af denne stedvægtning konverteres følgende otte biters to komplement binære tal til decimalform:

01000101 2 =
01110000 2 =
11000001 2 =
10010111 2 =
01010101 2 =
10101010 2 =
01100101 2 =
Reveal svar Skjul svar

01000101 2 = 69 10
01110000 2 = 112 10
11000001 2 = -63 10
10010111 2 = -105 10
01010101 2 = 85 10
10101010 2 = -86 10
01100101 2 = 101 10

Bemærkninger:

Studerende, der er vant til at kontrollere deres konverteringer med regnemaskiner, kan finde vanskeligheder med disse eksempler på grund af den negative pladsvægt! To's komplement notation kan forekomme usædvanligt i starten, men det besidder bestemte fordele i binær aritmetik.

Spørgsmål 7

I et otte-bit digitalt system, hvor alle tal er repræsenteret i to komplementform, hvad er den største (mest positive) mængde, der kan repræsenteres med de otte bits "# 7"> Reveal svar Skjul svar

Største (mest positive): 01111111 2 = 127 10

Mindste (mest negative): 10000000 2 = -128 10

Bemærkninger:

Det vigtigste begreb i dette spørgsmål er rækkevidde : Hvad er grænserne for de repræsentative mængder, givet et bestemt antal bits. To komplement gør kun konceptet lidt mere interessant.

Spørgsmål 8

To's komplement notation viser virkelig sin værdi i binær tilsætning, hvor positive og negative mængder kan håndteres med lige lethed. Tilføj de følgende byte-lange (8 bit) tos komplementnumre sammen, og konverter derefter alle binære mængder til decimalformular for at kontrollere nøjagtigheden af ​​tilføjelsen:

Reveal svar Skjul svar

Bemærkninger:

Lad dine elever lave nogle af disse problemer på tavlen, foran klassen for alle at se. Spørg eleverne, hvad der sker med den venstrefløjste "bære" bit, hvis den findes i nogen af ​​disse problemer. Spørg dem, hvorfor vi gør, hvad vi gør med den smule, når vi plejer at placere det i vores svar.

Spørgsmål 9

Tilføj de følgende otte biters to komplementnumre sammen, og konverter derefter alle binære mængder til decimalformular for at bekræfte nøjagtigheden af ​​tilføjelsen:

Reveal svar Skjul svar

Opfølgningsspørgsmål: Hvorfor er nogle af disse svar forkerte "Noter skjult"> Noter:

Dette spørgsmål introducerer eleverne til fænomenet overløb . Dette er et meget vigtigt princip at forstå, fordi rigtige computersystemer skal håndtere denne tilstand korrekt, for ikke at sende ukorrekte svar!

Spørgsmål 10

Hvordan er det muligt at fortælle, at overløb har fundet sted i tilføjelsen af ​​binære tal uden at konvertere de binære beløb til decimaldannelse, og at et menneske har verificeret svarene?

Reveal svar Skjul svar

Kontroller tegnsymbolet af svaret, og sammenlign det med tegnsætene i addend og augend .

Udfordringsspørgsmål: Under hvilken tilstand er overflow umuligt? Hvornår kan vi tilføje to binære tal sammen og vide med sikkerhed, at svaret bliver korrekt?

Bemærkninger:

Senere skal dette koncept for overløbskontrol anvendes på et rigtigt kredsløb, hvor eleverne designer logiske gatearrayer for at detektere tilstedeværelsen af ​​overløb. For det første må de lære at genkende sin tilstedeværelse analytisk.

Spørgsmål 11

Hvad er et flydende punktnummer i et digitalt system?

Reveal svar Skjul svar

"Floating Point" -numre er den binære ækvivalent af videnskabelig notation: visse bits bruges til at repræsentere mantissaen, en anden samling bit repræsenterer eksponenten, og (normalt) er der en enkelt bit, der repræsenterer tegn. Desværre er der flere forskellige "standarder" for at repræsentere flydende punktnumre.

Bemærkninger:

Spørg dine elever, hvorfor computersystemer ville have brug for flydende punktnumre. Hvad er der galt med de standardformer af binære tal, som vi har udforsket hidtil?

  • ← Forrige regneark

  • Regneark Indeks

  • Næste regneark →