Logaritmer til analoge kredsløb

Triangle of Power (Juni 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Logaritmer til analoge kredsløb

Matematik til elektronik


Spørgsmål 1

Konceptet med matematisk magt er kendt for de fleste algebra-studerende. For eksempel betyder ti til den tredje magt dette:

10 3 = 10 × 10 × 10 = 1000

. . . og otte til syvende magt betyder dette:

8 7 = 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 2.097.152

Ligesom subtraktion er den inverse funktion af addition, og division er den inverse funktion af multiplikation (fordi med inverse funktioner, en "undoes" den anden), er der også en inversfunktion til en effekt, og vi kalder det logaritmen .

Skriv nyt udtryk 10 3 = 1000, så det bruger de samme mængder (10, 3 og 1000) i sammenhæng med en logaritme i stedet for en effekt, ligesom subtraktionen er vist her for at være den inverse af tilføjelsen, og division er vist at være den inverse af multiplikation i de følgende eksempler:

3 + 8 = 11 (+ og - er inverse funktioner) 11 - 3 = 8

2 × 7 = 14 (× og ÷ er omvendte funktioner) 14 ÷ 2 = 7

10 3 = 1000 (magter og logfiler er inverse funktioner) log 10 "# 1"> Reveal svar Skjul svar

10 3 = 1000 (beføjelser og logfiler er inverse funktioner) log 10 1000 = 3

Bemærkninger:

Efter min erfaring er de fleste amerikanske studerende voldsomt underprepared for emnet logaritmer, når de studerer med mig. Ganske vist ser logaritmerne ikke så meget ud i hverdagen som magter gør (og det er meget lidt for de fleste som det er!). Logaritmer plejede at være fælles billetpris til gymnasier og universitetsstuderende, da de var afgørende for driften af ​​en diasregel, en elegant mekanisk analog computerenhed, der er populær årtier siden.

Formålet med dette spørgsmål er todelt: At få eleverne til at indse, hvad en logaritme er, og også at minde dem om begrebet inverse funktioner, som bliver meget vigtige i analoge beregningskredsløb.

Spørgsmål 2

Giv følgende matematiske udtryk, skriv en anden, der definerer en logaritme ved hjælp af de samme variabler:

Hvis: x y = z Så: log ? ? =?

Reveal svar Skjul svar

Hvis: x y = z Så: log x z = y

Bemærkninger:

Intet særligt her. Faktisk kan svaret på dette spørgsmål stammer fra enhver algebra lærebog.

Spørgsmål 3

Elektroniske regnemaskiner med logaritme kapacitet har mindst to forskellige typer af logaritmer: fælles logaritme og naturlig logaritme, symboliseret som henholdsvis "log" og "ln". Forklar, hvad forskellen er mellem disse to typer logaritmer.

Reveal svar Skjul svar

Den fælles logaritmefunktion forudsætter en "base" -værdi på ti, mens den naturlige logaritme antager en basisværdi af e (Eulers konstant).

Opfølgningsspørgsmål: Hvad er den omtrentlige værdi af e? Hvordan kan du få din regnemaskine til at give dig svaret (snarere end at se det op i en matematisk bog?

Bemærkninger:

Nogle kalkulatorer tillader selvfølgelig at udtrække logaritmen af ​​ethvert nummer til enhver base. Her ønsker jeg blot, at eleverne bliver fortrolige med de to logaritmefunktioner, der er tilgængelige på de mest grundlæggende videnskabelige regnemaskiner.

Bemærk at nogle regnemaskiner vil vise lige nok cifre af e for at give det fejlagtige indtryk, at de gentager (ti cifre: e = 2.718281828). Hvis nogen antyder, at e er et (rationelt) gentaget decimaltal, korrigér denne misforståelse ved at fortælle dem, at det er irrationelt ligesom π.

Spørgsmål 4

Bemærk følgende logaritmiske identiteter ved hjælp af den "almindelige" (base 10) logaritme:

log10 = 1

log100 = 2

log1000 = 3

log10000 = 4

I den første ligning blev tallene 10 og 1 knyttet sammen af ​​logfunktionen. I den anden ligning blev tallene 100 og 2 forbundet sammen af ​​samme logfunktion og så videre.

Omskriv de fire ligninger sammen på en sådan måde, at de samme tal er relateret til hinanden, men uden at skrive "log". Med andre ord repræsenterer de samme matematiske relationer ved hjælp af en eller anden matematisk funktion end den fælles logaritmefunktion.

Reveal svar Skjul svar

10 1 = 10

10 2 = 100

10 3 = 1000

10 4 = 10000

Bemærkninger:

En illustration som dette hjælper eleverne med at forstå, hvad logfunktionen faktisk gør.

Spørgsmål 5

Bemærk følgende logaritmiske identiteter ved hjælp af den "almindelige" (base 10) logaritme:

log0.1 = -1

log0.01 = -2

log0.001 = -3

log0.0001 = -4

I den første ligning blev tallene 0, 1 og 1 knyttet sammen af ​​logfunktionen. I den anden ligning blev tallene 0, 01 og 2 forbundet sammen af ​​samme logfunktion osv.

Omskriv de fire ligninger sammen på en sådan måde, at de samme tal er relateret til hinanden, men uden at skrive "log". Med andre ord repræsenterer de samme matematiske relationer ved hjælp af en eller anden matematisk funktion end den fælles logaritmefunktion.

Reveal svar Skjul svar

10 -1 = 0, 1

10 -2 = 0, 01

10 -3 = 0, 001

10 -4 = 0, 0001

Bemærkninger:

En illustration som dette hjælper eleverne med at forstå, hvad logfunktionen faktisk gør.

Spørgsmål 6

Undersøg følgende fremskridt af matematiske udsagn:

(10 2 ) (10 3 ) = 100000

10 2 + 3 = 100000

10 5 = 100000

Hvad angiver dette mønster? Hvilket algebraprincip er illustreret af disse tre ligninger?

Herefter undersøge denne udvikling af matematiske udsagn:

log10 5 = log100000 = 5

log10 2 + 3 = log100000 = 5

log10 2 + log10 3 = log100000 = 5

Hvad angiver dette mønster? Hvilket algebraprincip er illustreret af disse tre ligninger?

Reveal svar Skjul svar

Første mønster:

Produktet af to basetal med forskellige eksponenter er lig med det basetal, der er hævet til eksponenternes sum.

Andet mønster:

Summen af ​​to logaritmer er lig med logaritmen for disse to tal 'produkt.

Bemærkninger:

I dette spørgsmål ønsker jeg, at elever begynder at se, hvordan logaritmer vedrører multiplikation til addition, og hvordan kræfter relaterer sig til multiplikation. Dette er et første skridt til studerende, der genkender logaritmer som transformationsfunktioner : et middel til at omdanne en type matematisk problem til en enklere type matematisk problem.

Spørgsmål 7

Undersøg denne udvikling af matematiske udsagn:

(100) (1000) = 100000

(100) (1000) = 10 5

log ((100) (1000)) = log10 5

log100 + log1000 = log10 5

log10 2 + log10 3 = log10 5

2 + 3 = 5

Hvad der begyndte som et multiplikationsproblem, endte som et additionsproblem ved anvendelse af logaritmer. Hvad fortæller du om brugen af ​​logaritmer som et aritmetisk værktøj?

Reveal svar Skjul svar

At logaritmerne kan reducere kompleksiteten af ​​en ligning fra multiplikation, ned til addition, angiver dens anvendelighed som et værktøj til at forenkle aritmetiske problemer. Specielt er logaritmen for et produkt lig med summen af ​​logaritmerne for de to tal, der multipliceres.

Bemærkninger:

I matematik kaldes en procedure, der reducerer en kompleks type problem til en enklere type problem, en transformfunktion, og logaritmer er en af ​​de enkleste typer transformationsfunktioner, der eksisterer.

Spørgsmål 8

Antag at du ejede en videnskabelig regnemaskine med to knækkede knapper: multiplikationen (×) og dividen (÷). Demonstrere hvordan du kan løse dette simple multiplikationsproblem ved kun at bruge logaritmer, addition og antilogaritmer (kræfter):

7 × 5 =? ? ?

Svaret på dette problem var let nok til at finde ud af uden en regnemaskine overhovedet, så her er nogle flere øvelsesproblemer for dig at prøve:

23 × 35 =
781 × 92 =
19, 4 × 60 =
0, 019 × 2, 6 =
Reveal svar Skjul svar

Her vil jeg vise dig trinene til at bruge logaritmer til at løse det første multiplikationsproblem:

7 × 5 =? ? ?

7 × 5 = 10 log7 + log5

7 × 5 = 10 0, 8451 + 0, 6990

7 × 5 = 10 1, 5441

7 × 5 = 35

Da de andre er nemme nok til at kontrollere (med din ikke-brudte regnemaskine!), Vil jeg forlade deres løsninger i dine hænder.

Bemærkninger:

I øvrigt er der ikke noget særligt ved den fælles logaritme for at berettige sin eksklusive brug i dette problem. Vi kunne lige så nemt have anvendt den naturlige logaritmefunktion med det samme (endelige) resultat:

7 × 5 =? ? ?

7 × 5 = e ln7 + ln5

7 × 5 = e 1, 9459 + 1, 6094

7 × 5 = e 3.5553

7 × 5 = 35

Spørgsmål 9

Undersøg denne udvikling af matematiske udsagn:

1000


100

= 10

1000


100

= 10 1

log  1000


100

 ⎠ = log10 1

log1000 - log100 = log10 1

log10 3 - log10 2 = log10 1

3 - 2 = 1

Hvad der begyndte som et division problem endte som et subtraktionsproblem ved anvendelse af logaritmer. Hvad fortæller du om brugen af ​​logaritmer som et aritmetisk værktøj?

Reveal svar Skjul svar

At logaritmerne kan reducere kompleksiteten af ​​en ligning fra division, ned til subtraktion, angiver dens anvendelighed som et værktøj til at forenkle aritmetiske problemer. Specifikt er logaritmen for en kvotient lig med forskellen mellem logaritmerne for de to tal, der er opdelt.

Bemærkninger:

I matematik kaldes en procedure, der reducerer en kompleks type problem til en enklere type problem, en transformfunktion, og logaritmer er en af ​​de enkleste typer transformationsfunktioner, der eksisterer.

Spørgsmål 10

Antag at du ejede en videnskabelig regnemaskine med to knækkede knapper: multiplikationen (×) og dividen (÷). Demonstrere hvordan du kan løse dette simple multiplikationsproblem ved kun at bruge logaritmer, addition og antilogaritmer (kræfter):

12 ÷ 3 =? ? ?

Svaret på dette problem var let nok til at finde ud af uden en regnemaskine overhovedet, så her er nogle flere øvelsesproblemer for dig at prøve:

122 ÷ 35 =
781 ÷ 92 =
19, 4 ÷ 60 =
3, 5 ÷ 0, 21 =
Reveal svar Skjul svar

Her vil jeg vise dig trinene til at bruge logaritmer til at løse det første multiplikationsproblem:

12 ÷ 3 =? ? ?

12 ÷ 3 = 10 log12 - log3

12 ÷ 3 = 10 1.0792 - 0.4771

12 ÷ 3 = 10 0, 6021

12 ÷ 3 = 4

Da de andre er nemme nok til at kontrollere (med din ikke-brudte regnemaskine!), Vil jeg forlade deres løsninger i dine hænder.

Bemærkninger:

I øvrigt er der ikke noget særligt ved den fælles logaritme for at berettige sin eksklusive brug i dette problem. Vi kunne lige så nemt have anvendt den naturlige logaritmefunktion med det samme (endelige) resultat:

12 ÷ 3 =? ? ?

12 ÷ 3 = e ln12 - ln3

12 ÷ 3 = e 2, 4849 - 1, 0986

12 ÷ 3 = e 1, 3863

12 ÷ 3 = 4

Spørgsmål 11

Undersøg denne udvikling af matematiske udsagn:

(1000) 2 = 1000000

(1000) 2 = 10 6

log ((1000) 2 ) = log10 6

(2) (log1000) = log10 6

(2) (log103) = log10 6

(2) (3) = 6

Hvad der begyndte som et eksponentielt problem endte som et multiplikationsproblem ved anvendelse af logaritmer. Hvad fortæller du om brugen af ​​logaritmer som et aritmetisk værktøj?

Reveal svar Skjul svar

At logaritmerne kan reducere kompleksiteten af ​​en ligning fra eksponering, ned til multiplikation, angiver dens anvendelighed som et redskab til at forenkle aritmetiske problemer. Specielt er logaritmen for et tal, der er hævet til en effekt, lig med den effekt multipliceret med nummerets logaritme.

Bemærkninger:

I matematik kaldes en procedure, der reducerer en kompleks type problem til en enklere type problem, en transformfunktion, og logaritmer er en af ​​de enkleste typer transformationsfunktioner, der eksisterer.

Spørgsmål 12

Antag at du ejede en videnskabelig regnemaskine med to knækkede knapper: kraften (y x ) og root ( x

√ {y}). Demonstrere, hvordan du kan løse dette simple strømproblem ved kun at anvende logaritmer, multiplikation og antilogaritmer (kræfter):

3 4 =? ? ?

Svaret på dette problem var let nok til at finde ud af uden en regnemaskine overhovedet, så her er nogle flere øvelsesproblemer for dig at prøve:

25 6 =
564 3 =
0, 224 2 =
41 0, 3 =
Reveal svar Skjul svar

Her vil jeg vise dig trinene til at bruge logaritmer til at løse det første multiplikationsproblem:

3 4 =? ? ?

3 4 = 10 (4 log3)

3 4 = 10 (4) (0, 4771)

3 4 = 10 1, 9085

3 4 = 81

Da de andre er nemme nok til at kontrollere (med din ikke-brudte regnemaskine!), Vil jeg forlade deres løsninger i dine hænder.

Bemærkninger:

I øvrigt er der ikke noget særligt ved den fælles logaritme for at berettige sin eksklusive brug i dette problem. Vi kunne lige så nemt have anvendt den naturlige logaritmefunktion med det samme (endelige) resultat:

3 4 =? ? ?

3 4 = e (4 ln3)

3 4 = e (4) (1, 0986)

3 4 = e 4, 3944

3 4 = 81

Spørgsmål 13

Undersøg denne udvikling af matematiske udsagn:


1000

= 10 1, 5

log


1000

= log (10 1, 5 )

log (1000 1/2 ) = log (10 1, 5 )

1


2

(log1000) = log (10 1, 5 )

1


2

(log103) = log (10 1, 5 )

3


2

(log10) = log (10 1, 5 )

3


2

(1) = log (10 1, 5 )

3


2

= log (10 1, 5 )

3


2

= 1, 5

Hvad der begyndte som et fraktioneret eksponentproblem, endte som en simpel fraktion ved anvendelse af logaritmer. Hvad fortæller du om brugen af ​​logaritmer som et aritmetisk værktøj?

Reveal svar Skjul svar

At logaritmerne kan reducere kompleksiteten af ​​en ligning fra fraktioneret eksponering, ned til simple fraktioner, angiver dets anvendelighed som et redskab til at forenkle aritmetiske problemer. Specielt er logaritmen for en rod af et tal lig med logaritmen for dette tal divideret med rodindekset.

Bemærkninger:

I matematik kaldes en procedure, der reducerer en kompleks type problem til en enklere type problem, en transformfunktion, og logaritmer er en af ​​de enkleste typer transformationsfunktioner, der eksisterer.

Spørgsmål 14

Antag at du ejede en videnskabelig regnemaskine med to knækkede knapper: kraften (y x ) og root ( x

√ {y}). Demonstrere hvordan du kan løse dette simple rodproblem ved kun at bruge logaritmer, division og antilogaritmer (beføjelser):

3


8

=? ? ?

Svaret på dette problem var let nok til at finde ud af uden en regnemaskine overhovedet, så her er nogle flere øvelsesproblemer for dig at prøve:

4 √ {13} =
5 √ {209} =
2, 5 √ {9935} =
9, 2 √ {0, 15} =
Reveal svar Skjul svar

Her vil jeg vise dig trinene til at bruge logaritmer til at løse det første multiplikationsproblem:

3


8

=? ? ?

3


8

= 10 (1/3 log8)

3


8

= 10 (1/3 (0, 9031))

3


8

= 10 0, 3010

3


8

= 2

Da de andre er nemme nok til at kontrollere (med din ikke-brudte regnemaskine!), Vil jeg forlade deres løsninger i dine hænder.

Bemærkninger:

I øvrigt er der ikke noget særligt ved den fælles logaritme for at berettige sin eksklusive brug i dette problem. Vi kunne lige så nemt have anvendt den naturlige logaritmefunktion med det samme (endelige) resultat:

3


8

=? ? ?

3


8

= e (1/3 ln8)

3


8

= e (1/3 (2.0794))

3


8

= e 0, 6931

3


8

= 2

Spørgsmål 15

Du kan undre sig over, hvorfor nogen ville forstyrre ved hjælp af logaritmer for at løse aritmetiske problemer, som vi har helt gode og effektive digitale elektroniske regnemaskinefunktioner til vores rådighed. For eksempel, hvorfor ville nogen gøre det her:

10 log7 + log5

. . . da de bare kunne gøre følgende på samme regnemaskine?

7 × 5

Det hurtige svar på dette meget gode spørgsmål er, "når det er sværere at multiplicere to tal direkte." Problemet er, at de fleste har en vanskelig tid at forestille sig, når det nogensinde ville være lettere at tage to logaritmer, tilføje dem sammen og hæve ti til den magt, end det ville være at simpelthen multiplicere de oprindelige to tal sammen.

Svaret på dette mysterium findes i operationelle forstærkerkredsløb. Som det viser sig, er det meget nemmere at opbygge single opamp-kredsløb, der tilføjer, subtraherer, eksponenterer eller tager logaritmer, end det er at opbygge en, der direkte multiplicerer eller deler to mængder (analoge spændinger) sammen.

Vi kan tænke på disse opampfunktioner som "blokke", der kan sammenkobles til at udføre sammensatte aritmetiske funktioner:

Ved hjælp af denne model af specifikke matematiske funktions "blokke" kan du vise, hvordan følgende sæt analoge matematiske funktionsblokke kan forbindes sammen for at formere to analoge spændinger sammen:

Reveal svar Skjul svar

Bemærkninger:

Formålet med dette spørgsmål er simpelt: at give en praktisk anvendelse af logaritmer som beregningshjælpemidler i en alder af billige, allestedsnærværende, digitale computerenheder.

Spørgsmål 16

Logaritmer har interessante egenskaber, som vi kan udnytte i elektroniske kredsløb til at udføre visse komplekse operationer. I dette spørgsmål anbefaler jeg, at du bruger en håndberegner til at udforske disse egenskaber.

Beregn følgende:

10 log3 =
log (10 8 ) =
e ln3 =
ln (e 8 ) =
10 (log3 + log5) =
e (ln3 + ln5) =
10 (log2.2 + log4) =
e (ln2.2 + ln4) =
10 (log12 - log4) =
e (ln12 - ln4) =
10 (2 log3) =
e (2 ln3) =
10 ((log25 / 2)) =
e ((ln25 / 2)) =
Reveal svar Skjul svar

10 log3 = 3
log (10 8 ) = 8
e ln3 = 3
ln (e 8 ) = 8
10 (log3 + log5) = 15
e (ln3 + ln5) = 15
10 (log2.2 + log4) = 8, 8
e (ln2, 2 + ln4) = 8, 8
10 (log12 - log4) = 3
e (ln12 - ln4) = 3
10 (2 log3) = 9
e (2 ln3) = 9
10 ((log25 / 2)) = 5
e ((ln25 / 2)) = 5

Bemærkninger:

Diskuter, hvilke matematiske operationer der gøres med konstanterne i disse ligninger ved hjælp af logaritmer. Hvilke mønstre oplyser dine elever om "meta-tags hidden-print">

Relaterede værktøjer:

Refleksionsdempende kalkulator N-vejs Power Divider Kalkulator Broadside Coupled Trace Inductance Calculator

  • ← Forrige regneark

  • Regneark Indeks

  • Næste regneark →