Numeration Systems

4.1 Numeration Systems (part 1) (Juni 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Numeration Systems

Digitale kredsløb


Spørgsmål 1

Digitale computere kommunikerer med eksterne enheder via porte : sæt af terminaler er normalt arrangeret i grupper på 4, 8, 16 eller mere (4 bits = 1 nybble, 8 bits = 1 byte, 16 bits = 2 bytes). Disse terminaler kan indstilles til høje eller lave logiske tilstande ved at skrive et program til den computer, der sender en numerisk værdi til porten. Her er f.eks. En illustration af, at en mikrocontroller instrueres til at sende det hexadecimale nummer F3 til port A og 2C til port B:

Antag at vi ønskede at bruge de øverste fire bit af port A (ben 7, 6, 5 og 4) til at køre spoler af en stepper motor i denne otte-trins rækkefølge:

Trin 1:
0001
Trin 2:
0011
Trin 3:
0010
Trin 4:
0110
Trin 5:
0100
Trin 6:
1100
Trin 7:
1000
Trin 8:
1001

Da hver pin går højt, kører den en power MOSFET på, som sender strøm gennem den pågældende spole af steppermotoren. Ved at følge en "shift" -sekvens som vist, vil motoren rotere en lille mængde for hver cyklus.

Skriv den nødvendige rækkefølge af tal, der skal sendes til port A for at generere denne specifikke rækkefølge af bitskift i hexadecimal. Forlad den nederste fire bit af port A alt i lav logisk tilstand.

Reveal svar Skjul svar

Trin 1:
10 16
Trin 2:
30 16
Trin 3:
20 16
Trin 4:
60 16
Trin 5:
40 16
Trin 6:
C0 16
Trin 7:
80 16
Trin 8:
90 16

Opfølgningsspørgsmål: skriv den samme sekvens i decimal snarere end hexadecimal:

Trin 1:
Trin 2:
Trin 3:
Trin 4:
Trin 5:
Trin 6:
Trin 7:
Trin 8:

Bemærkninger:

Selv om roden til dette spørgsmål ikke er mere end binær til hexadecimal konvertering, introducerer den også eleverne til begrebet styring af bitstater i mikrocomputerporte ved at skrive hex-værdier. Som sådan er dette spørgsmål meget praktisk!

Hvis de studerende spørger, lad dem vide, at et dollar tegn prefix er nogle gange brugt til at angive et hexadecimalt tal. Andre gange bliver præfikset 0x brugt (f.eks. $ F3 og 0xF3 betyder det samme).

Spørgsmål 2

Nummersystemet vi bruger i vores dagligdag kaldes base ti, også kaldet decimal eller denary . Hvad betyder nøjagtigt "base ti" "alle">

5183

Reveal svar Skjul svar

"Basis ti" betyder at tal repræsenteres af symbolkombinationer (cifre), hvoraf der kun er ti (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9).

Analyserer nummeret 5.183:

Et sted: 3
Ti sted: 8
Hundreds sted: 1
Tusind plads: 5

Bemærkninger:

"Nummeret" af vores numerationssystem er noget, som folk normalt ikke tænker meget på - det er simpelthen taget for givet. Formålet med dette spørgsmål er at hjælpe eleverne med at indse, hvilke numeriske symboler rent faktisk betyder, som forberedelse til at forstå andre systemordninger.

Spørgsmål 3

Overhold følgende sekvens af tal:

00

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

.

.

.

Hvilke mønster (r) bemærker du i cifrene, da vi tæller opad fra 0 til 21 (og udover)? Dette kan virke som et meget forenklet spørgsmål (og det er!), Men det er vigtigt at genkende ethvert iboende mønster, så du kan forstå tæller sekvenser i talesystemer med andre baser end ti.

Reveal svar Skjul svar

Bemærk den gentagne sekvens af cifre i ens sted, og udviklingsmønsteret for stigning på ti'ernes sted. Hvor mange tal kan tælles uden gentagelse af cifre på ens sted?

Bemærkninger:

Nogle studerende vil tro på dette spørgsmål være latterligt simpelt, men der er nogle vigtige lektioner, der skal læres her. Det største problem, som eleverne står over for, når de lærer binære, oktale og hexadecimale talesystemer, er den overvældende bekendtskab med basetalletallet. Vi er så vant til at basere ti, at vi ikke gider at genkende sine grundlæggende egenskaber, og tror typisk, at dette er den eneste måde, som tal kan skrives!

Spørgsmål 4

De antikke mayaer brugte et vigesimal- eller base-tyve talesystem i deres matematik. Hvert "ciffer" var en faktisk en sammensætning af prikker og / eller linjer som sådan:

For at repræsentere tal større end tyve kombinerede mayanerne flere "cifre" på samme måde som vi gør for at repræsentere tal større end ti. For eksempel:

Baseret på eksemplerne vist ovenfor bestemmer stedvægtningen af ​​hvert "ciffer" i det vigesimale talesystem. For eksempel har vi i vores denarium eller base-ti-system et sted, et ti-sted, et hundrede sted osv. Hvert efterfølgende "sted", der har ti gange "vægten" af stedet før det. Hvad er værdierne for de respektive "steder" i maya-systemet? // www.beautycrew.com.au//sub.allaboutcircuits.com/images/quiz/01197x03.png ">

Reveal svar Skjul svar

Placer vægte: en, tyve, fire hundrede, otte tusind, . . .

Bemærkninger:

Selv om ingen tæller i "Maya" længere, er dette spørgsmål stadig relevant, fordi det får eleverne til at tænke uden for deres vanlige talsystem. Det har også en vis kulturel værdi, der viser dem, at ikke alle i verden tæller på samme måde som de gør!

Spørgsmål 5

Digitale computere bruger et talesystem med en base på to, snarere end en base på ti, som vi er vant til at bruge. Det er meget nemmere at konstruere kredsløb, der tæller i "binære" end det er at designe kredsløb, der tæller i ethvert andet basissystem. Baseret på det, du kender til talesystemer, skal du svare på følgende spørgsmål:

Hvor mange forskellige symboler (cifre) er der i det binære talsystem "# 5"> Reveal svar Skjul svar

Der er kun to gyldige cifre i det binære system: 0 og 1. Hvert på hinanden følgende sted bærer to gange "vægten" af den ene før den. Sytten = 10001 (i binær). Hver karakter i det binære system kaldes en "bit" snarere end et "ciffer".

Bemærkninger:

Bed dine elever om at hypotesere, hvorfor binære bruges i digital kredsløb i stedet for base-ti (denary) numeration. Jeg har afsløret, at det er lettere at opbygge kredsløb, der repræsenterer mængder i binære end nogen anden numerisk base, men hvorfor?

Spørgsmål 6

Hvis et digitalt meter display har fire cifre, kan det repræsentere ethvert tal fra 0000 til 9999. Dette udgør ti tusind unikke tal, der kan repræsentere af displayet. Hvor mange unikke tal kan repræsenteres med fem cifre? Med seks cifre?

Hvis en gammel maya-hovedbog havde plads til at skrive tal med tre "cifre" hver, hvor mange unikke tal kunne være repræsenteret i hvert rum? Hvad nu hvis rummene blev udvidet til at holde fire "cifre" hver?

Hvis et digitalt kredsløb har fire bits, hvor mange unikke binære tal kan det repræsentere? Hvis vi udvidede dets evner til otte bits, hvor mange unikke tal kunne være repræsenteret af kredsløbet?

Når du har besvaret disse spørgsmål, ser du et matematisk mønster, der relaterer til antallet af "steder" i et talesystem og antallet af unikke mængder, der kan repræsenteres, givet "base" -værdien ("radix") i talesystemet? Skriv et matematisk udtryk, der løser for antallet af unikke mængder, der kan repræsentere, givet systemets "base" og antallet af "steder".

Reveal svar Skjul svar

Fem cifre cifre: et hundrede tusinde unikke tal. Seks cifre: en million unikke tal.

Tre vigesimal "cifre": otte tusinde unikke tal. Fire vigesimal "cifre": et hundrede tres tusind entydige tal.

Fire binære bits: seksten unikt tal. Otte binære bits: to hundrede og halvtreds unikt tal.

Unikke tal = b n

Hvor,

b = Radix af talesystem.

n = Antal "steder" givet.

Bemærkninger:

Spørg dine elever, hvilke numerationssystemer de tre giver, er mere effektive til at repræsentere mængder med det mindste antal steder. Så spørg dem om at forklare, hvorfor dette er.

Spørgsmål 7

Hvad er det største antal, der kan tælles til, i et base-ti-system med seks cifre? Hvad med om et base-tyve (vigesimal) system med fire steder? Hvad med en bas-to (binær) system med ti bits?

Reveal svar Skjul svar

999999 10 = Ni hundrede nioghalvtusind, ni hundrede og nioghalvfems.

1111111111 2 = et tusind treogtyve.

Bemærkninger:

Bed dine elever om at forklare, hvorfor abonnementer er ønskelige, når der skrives tal i binært eller i et hvilket som helst andet "base" talsystem for den sags skyld.

Spørgsmål 8

Hvor mange binære bits er nødvendige for at tælle op til nummeret en million tre hundrede tusinde syv hundrede og toogtres "# 8"> Reveal svar Skjul svar

20 stykker.

Tip: Svaret består i at løse denne ligning:

1300762 = 2 n

Hvor,

n = Antallet af binære bits, der er nødvendigt for at tælle op til 1.300.762.

Bemærkninger:

Dette spørgsmål er en test af, hvorvidt eleverne ved, hvordan de algebraisk kan løses for variable eksponenter. Jeg vil ikke foreslå, hvordan dette er gjort (for at jeg ikke berøver en elev af den læringserfaring, der kommer fra at undersøge svaret alene), men jeg vil sige, at det er en meget nyttig algebraisk teknik, der engang mestrer.

Hvis eleverne stadig ikke har fundet en løsning efter deres forskning, foreslår de at forsøge at løse et enklere problem:

Hvor mange decimaler er der behov for at tælle op til nummer en million tre hundrede tusinde syv hundrede og toogtres?

Dette spørgsmål er trivielt at svare (7 decimaler), da vi alle er bekendt med decimaltallet. Den egentlige læring finder dog sted, når eleverne skriver et matematisk udtryk for at løse dette problem, svarende til det, der er skrevet i svaret på det binære problem. Når de har skrevet dette udtryk, spørg dem, hvilke algebraiske teknikker der kan bruges til at løse for eksponentens værdi.

Spørgsmål 9

Kredsløbet vist i dette diagram bruges til at sende en numerisk værdi fra et sted til et andet ved hjælp af kontakter og lys:

I betragtning af de viste skifte og lys kan ethvert hele tal mellem 0 og 999 overføres fra omskifterstedet til lysstedet.

Faktisk er arrangementet, som er vist her, ikke alt for forskelligt fra et forældet design af elektroniske basis-ti-indikatorer kendt som Nixie- rørdisplays, hvor hvert ciffer var repræsenteret af et neonfyldt glasrør, hvori en af ​​ti forskellige elektroder (hver i form af et ciffer, 0-9) kunne aktiveres, hvilket giver glødende tal for en person at se.

Imidlertid er systemet vist i ovenstående diagram noget spild af ledninger. Hvis vi skulle bruge det samme trettende lederkabel, kunne vi repræsentere et meget bredere antal tal, hvis hver leder repræsenterede en særskilt binær bit, og vi brugte binære i stedet for base-ti til talesystemet:

Hvor mange unikke tal repræsenterer dette simple kommunikationssystem "# 9"> Reveal svar Skjul svar

I dette system, med en "bredde" på 30 bit, kan vi repræsentere en milliard, treoghalvtreds millioner, syvhundredtogfyrre tusind, otte hundrede fireogtyve unikke tal. Det største individuelle nummer, der kan meddeles, er en mindre end denne total.

Bemærkninger:

Formålet med dette spørgsmål er at give eleverne mulighed for at overveje et elektrisk kredsløb, der kommunikerer digitale mængder fra ét sted til et andet, snarere end abstrakt diskuterer talesystemer. Det giver også en mere praktisk kontekst, hvor man forstår maksimal tælling i et numerationssystem.

Spørgsmål 10

Forklar hvorfor binær er et naturligt talesystem til at udtrykke tal i elektroniske kredsløb. Hvorfor ikke decimal eller en anden base af numeration?

Hvordan tror du, at binære tal kan lagres i elektroniske systemer til fremtidig hentning? Hvilke fordele er der for brugen af ​​binært tal i opbevaringssystemer?

Reveal svar Skjul svar

De to tilstande af et on / off kredsløb svarer til 0 og 1 cifre i binær. Ethvert medium, hvor on / off-tilstande kan være fysisk repræsenteret, gælder for lagring af binære tal. Optiske diske (cd-rom, dvd) er et glimrende eksempel på dette med laserforbrændte "pits", der repræsenterer binære bits.

Bemærkninger:

Bed dine elever om at tænke på forskellige medier eller fysiske mængder, som kan repræsentere binær information, især dem, der er relateret til elektriske / elektroniske kredsløb.

Spørgsmål 11

Konverter følgende tal fra binær (base-to) til decimal (base-ti):

10 2 =
1010 2 =
10011 2 =
11100 2 =
10111 2 =
101011 2 =
11100110 2 =
10001101011 2 =

Beskriv en generel trin for trin-procedure til konvertering af binære tal til decimaltal.

Reveal svar Skjul svar

10 2 = 2 10
1010 2 = 10 10
10011 2 = 19 10
11100 2 = 28 10
10111 2 = 23 10
101011 2 = 43 10
11100110 2 = 230 10
10001101011 2 = 1131 10

Bemærkninger:

Den vigtigste del af dette spørgsmål er selvfølgelig metoden til at oversætte binær til decimal. Fortæl ikke dine elever hvordan man gør dette, da der er masser af gode henvisninger til proceduren. Hvis en studerende ikke kan undersøge og forstå, hvordan man konverterer binært til decimal uden din hjælp, forsøger de ikke hårdt nok!

Spørgsmål 12

Konverter følgende tal fra decimal (base-ti) til binær (base-to):

7 10 =
10 10 =
19 10 =
250 10 =
511 10 =
824 10 =
1044 10 =
9241 10 =

Beskriv en generel trin for trin-procedure for at konvertere decimaltal til binære tal.

Reveal svar Skjul svar

710 = 111 2
10 10 = 1010 2
19 10 = 10011 2
250 10 = 11111010 2
511 10 = 111111111 2
824 10 = 1100111000 2
1044 10 = 10000010100 2
9241 10 = 10010000011001 2

Bemærkninger:

Den vigtigste del af dette spørgsmål er selvfølgelig metoden til at oversætte decimal til binært. Fortæl ikke dine elever hvordan man gør dette, da der er masser af gode henvisninger til proceduren. Hvis en studerende ikke kan undersøge og forstå, hvordan man konverterer decimal til binært uden din hjælp, forsøger de ikke hårdt nok!

Spørgsmål 13

Et talesystem, der ofte bruges som en "stenografi" måde at skrive store binære tal på, er det oktale eller base-otte system.

Baseret på det, du kender til stedvejede talsystemer, beskriv hvor mange gyldige cifre der findes i oktalsystemet og de respektive "vægte" af hvert sted i et oktalnummer.

Udfør også følgende konverteringer:

35 8 til decimal:
16 10 i oktal:
110010 2 i oktal:
51 8 til binær:
Reveal svar Skjul svar

Der er kun otte gyldige cifre i oktalsystemet (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7), hvor hvert på hinanden følgende sted bærer otte gange "vægten" af stedet før det.

35 8 i decimal: 29 10
16 10 i oktal: 20 8
110010 2 til octal: 62 8
51 8 i binær: 101001 2

Opfølgningsspørgsmål: hvorfor anses oktal som en "stenografi" notation for binære tal?

Bemærkninger:

Der er mange referencer, hvorfra eleverne kan lære at udføre disse konverteringer. Din hjælp bør være minimal, da disse procedurer er enkle at forstå og let at finde.

Spørgsmål 14

Et numerationssystem, der ofte bruges som en "stenografi" måde at skrive store binære tal på, er det hexadecimale eller base-seksten-system.

Baseret på det, du kender til stedvægtede talsystemer, beskriv hvor mange gyldige cifre der findes i det hexadecimale system og de respektive "vægte" af hvert sted i et hexadecimalt tal.

Udfør også følgende konverteringer:

35 16 i decimal:
34 10 til hexadecimal:
11100010 2 til hexadecimal:
93 16 ind i binær:
Reveal svar Skjul svar

Der er seksten gyldige cifre i det hexadecimale system (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E og F) gange "vægten" af stedet før den.

35 16 til decimal: 53 10
34 10 til hexadecimal: 22 16
11100010 2 til hexadecimal: E2 16
93 16 til binær: 10010011 2

Opfølgningsspørgsmål: hvorfor er hexadecimal betragtet som en "stenografi" notation for binære tal?

Bemærkninger:

Der er mange referencer, hvorfra eleverne kan lære at udføre disse konverteringer. Din hjælp bør være minimal, da disse procedurer er enkle at forstå og let at finde.

Spørgsmål 15

Udfyld denne tabel, og udfør alle nødvendige konverteringer mellem numerationssystemer:

Reveal svar Skjul svar

Bemærkninger:

Masser af konverteringer at gøre her! Jeg kan især lide det "bord" format, der vises her for at praktisere talesystemkonvertering, fordi det komprimerer meget praksis i et lille rum på papir, og også fordi det giver eleverne mulighed for at anvende forskellige metoder til konvertering. For eksempel kan en studerende ved at konvertere et decimaltal til de andre formularer vælge at konvertere først til binært, derefter fra binært til oktalt og hex. Eller alternativt kan en studerende vælge at konvertere fra decimal til hex, derefter fra hex til binært, derefter fra binært til oktalt, de to sidste konverteringer er særligt lette.

Spørgsmål 16

Når vi repræsenterer ikke-hele tal, udvider vi "decimalerne" i vores decimalsystem forbi højre for decimaltegnet, som dette:

Hvordan antager vi, at vi repræsenterer ikke-hele tal i et talesystem med en base (eller "radix") ud over ti "// www.beautycrew.com.au//sub.allaboutcircuits.com/images/quiz/01208x02. png ">

Reveal svar Skjul svar

Bemærkninger:

Mange elever vil først indse, at det er muligt at repræsentere ikke-hele tal i binær, oktal eller hexadecimal. Virkelig er konceptet imidlertid identisk med repræsentationen af ​​ikke-hele tal i decimalform. Evnen hos dine elever til at forstå ikke-hele tal i disse andre talesystemer angiver deres forståelse af stedvægtede systemer generelt. Hvis en elev virkelig forstår hvordan placeringsvægten virker, har de ingen problemer med at forstå cifre til venstre eller højre for radix-punktet i et hvilket som helst numerationssystem. Hvis en elev ikke forstår, hvordan cifre til højre for decimaltegnet er fortolket i andre talsystemer, så skal de bruge mere tid til at gennemgå, hvilke decimaltal der betyder.

Det er ikke, at konceptet er så svært at forstå, så meget som det er vores kendskab til decimaltallet (base-ti) talsystem. Vi bliver så vant til en måde at repræsentere tal på, at vi ikke er klar over, hvad symbolerne rent faktisk betyder, eller at der kan være alternative metoder til at repræsentere mængder.

Spørgsmål 17

Konverter følgende tal (alle mellem værdierne 0 og 1) i decimalform:

0, 001 2 =
0.101 2 =
0, 10111 2 =
0, 005 8 =
0.347 8 =
0, 34071 8 =
0, 00C 16 =
0.A2F 16 =
0.A2F09 16 =
Reveal svar Skjul svar

0, 001 2 = 0, 125 10
0, 101 2 = 0, 625 10
0, 10111 2 = 0, 71875 10
0, 005 8 = 0, 009765625 10
0, 347 8 = 0, 451171875 10
0, 34071 8 = 0, 439239502 10
0, 00C16 = 0, 002929688 10
0.A2F16 = 0.636474609 10
0.A2F09 16 = 0.636483192 10

Bemærkninger:

Bed dine elever om at forklare den konvertering, der anvendes i hvert enkelt tilfælde. Det er ret simpelt, men vigtigt at forstå det alligevel. Spørg dine elever om, hvordan denne metode sammenligner med konverteringen af ​​hele talværdier til decimalform.

Spørgsmål 18

Udfør denne tabel, og udfør alle nødvendige konverteringer mellem numerationssystemer. Afkort alle svar på tre tegn forbi punktet:

Reveal svar Skjul svar

Bemærkninger:

Masser af konverteringer at gøre her! Jeg kan især lide det "bord" format, der vises her for at praktisere talesystemkonvertering, fordi det komprimerer meget praksis i et lille rum på papir, og også fordi det giver eleverne mulighed for at anvende forskellige metoder til konvertering. For eksempel kan en studerende ved at konvertere et decimaltal til de andre formularer vælge at konvertere først til binært, derefter fra binært til oktalt og hex. Eller alternativt kan en studerende vælge at konvertere fra decimal til hex, derefter fra hex til binært, derefter fra binært til oktalt, de to sidste konverteringer er særligt lette.

Spørgsmål 19

I digitale computersystemer er binære tal ofte repræsenteret af et fast antal bits, såsom 8 eller 16 eller 32. Sådanne bitgrupperinger er ofte givet særlige navne, fordi de er så almindelige i digitale systemer:

byte
Nybble
ord

Hvor mange binære bits er repræsenteret ved hver af de ovennævnte udtryk "compact">

nickle
overflademusklen
chawmp
playte
Dynner
Reveal svar Skjul svar

byte = 8 bits
nybble = 4 bits
ord = afhænger af systemet

Udtrykket "ord" bruges ofte til at repræsentere 16 bit, men det afhænger virkelig af det pågældende system der tales om. Et binært "ord" defineres mere præcist som standardbredden af ​​en binær bitgruppering i et digitalt system.

Opfølgningsspørgsmål: Hvilken binær gruppering svarer til en enkelt hexadecimal karakter?

Bemærkninger:

Definitioner taget fra The New Hackers Dictionary, tilgængelig på internettet terminaler overalt.

  • ← Forrige regneark

  • Regneark Indeks

  • Næste regneark →