Phasor matematik

Lek 1 | Matematik - Komplekse Tal (Part 1/2) (Juni 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Phasor matematik

Matematik til elektronik


Spørgsmål 1

Giv en definition for fasor, som udtrykket gælder for elektriske beregninger.

Reveal svar Skjul svar

En "fasor" er en kompleks nummerrepræsentation af en elektrisk mængde, såsom spænding, strøm eller impedans.

Bemærkninger:

Komponentets bestanddel skal være til stede i en hvilken som helst definition af en fasor. En fasor, mens den kan klassificeres som en type vektor (har både størrelse og retning), er ikke den samme som de vektorer, der almindeligvis anvendes i andre fysiske områder (fx kraftvektorer, elektriske / magnetiske feltvektorer osv.).

Spørgsmål 2

En serie er et meget vigtigt begreb i matematik. Den almindelige betegnelse for en "serie" ser sådan ud (en type "geometriske" serie er vist her som et eksempel):

∞ Σ n = 0 x n

Forklar, hvad denne notation betyder, og hvordan vi kan tilnærme værdien af ​​en serie til en endelig værdi af n.

Reveal svar Skjul svar

En "serie" består af et sæt af termer tilføjet sammen, hvert begreb relateret til de andre med en fælles form, der kun adskilles ved at øge eller formindske en fælles variabel. For at illustrere ved eksempel er her en udvidelse af den geometriske serie vist i spørgsmålet:

∞ Σ n = 0 x n = x 0 + x 1 + x 2 + x 3 + x 4 +

.

+ x

Opfølgningsspørgsmål: Hvad mener du, at værdien af ​​denne serie ville være, hvis værdien af ​​x var større end (positiv) 1 "noter skjult"> Noter:

Formålet med dette spørgsmål er at gøre eleverne bekendte med begrebet matematisk serie og den notation, der bruges til at beskrive serier.

Spørgsmål 3

En almindelig matematisk funktion kendt som faktorial er repræsenteret af et udråbstegn efter et positivt heltal nummer. Følgende er alle eksempler på factorials:

1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720

Forklar i dine egne ord, hvad denne "factorial" funktion repræsenterer. Hvilken procedure (algoritme) ville vi bruge til aritmetisk at beregne værdien af ​​nogen factorial givet til os?

Reveal svar Skjul svar

Jeg vil lade dig undersøge dette på egen hånd! Algoritmen er ikke så svært at finde ud af, bare ved at undersøge sekvensen af ​​factorials givet i spørgsmålet.

Opfølgningsspørgsmål: Beregn 0!

Bemærkninger:

Ud over at være meget nyttige i sandsynlighedsberegninger ses faktorialer ofte i vigtige matematiske serier, herunder de der bruges til at beregne e, sin og cos.

Spørgsmål 4

Eulers konstante, at allestedsnærværende konstant i matematik symboliseret ved bogstavet e, kan findes som resultat af følgende matematiske serie:

e = ∞ Σ n = 0 1


n!

Anslå værdien af ​​e i trin ved hjælp af følgende tabel:

nn!1 / n!≈ e
0
1
2
3
4
5
6
7

Udtryk også denne serie som en del summen op til n = 7.

Reveal svar Skjul svar

nn!1 / n!≈ e
0111
1112
220, 52.5
360, 166672, 66667
4240, 041672, 70833
51200, 008332, 71667
67200, 001392, 71806
750400, 000202, 71825

Vist her er den delopgørelse op til n = 7:

1


0!

+ 1


1!

+ 1


2!

+ 1


3!

+ 1


4!

+ 1


5!

+ 1


6!

+ 1


7!

. . . og igen, i lidt anderledes form. . .

1 + 1 + 1


2

+ 1


6

+ 1


24

+ 1


120

+ 1


720

+ 1


5040

Bemærkninger:

Det bør siges at eleverne skal høre deres elektroniske regnemaskiner (eller en lærebog) for at se, hvad e-værdien er, og sammenligne den med deres delvise tilnærmelse.

Disse spørgsmål giver eleverne mulighed for at se, hvorfra e kommer fra, og også at udforske en seriers adfærd ved at beregne delbeløb. Mange elever finder det fascinerende at se sekvensen af ​​partielle summer konvergerer på den sande værdi af e og ser hvordan denne tidligere mystiske konstant faktisk kan beregnes ved hjælp af intet mere end gentaget aritmetik.

Spørgsmål 5

Den trigonometriske funktion af cosinus kan findes som følge af en uendelig serie. Bemærk at denne serie forudsætter, at vinklen x udtrykkes i radianer, ikke grader:

cosx = ∞ Σ n = 0 (-1) n x 2n


(2n)!

Ca. cosinus af 1 radian (cos1) i trin, ved hjælp af nedenstående tabel, og skriv derefter den delvise sum ekspansion op til n = 5:

n(-1) nx 2n(2n)!≈ cosx
0
1
2
3
4
5

Reveal svar Skjul svar

n(-1) nx 2n(2n)!≈ cosx
01111
1-1120, 5
211240.5416667
3-117200.5402778
411403200.5403026
5-1136288000.5403023

Vist her er den delvise sum ekspansion op til n = 5:

cosx ≈ 1 - x 2


2!

+ x 4


4!

- x 6


6!

+ x 8


8!

- x 10


10!

Bemærkninger:

Det bør selvfølgelig være, at eleverne skal høre deres elektroniske regnemaskiner for at se, hvad den faktiske værdi af cos1 er, og sammenligne den med deres delvise tilnærmelse. Studerende bør også være velkommen til at undersøge gyldigheden af ​​denne serie ved at tilnærme cosinus af andre vinkler end 1 radian.

Disse spørgsmål giver eleverne mulighed for at se, hvordan cosx kan beregnes aritmetisk. Dette er faktisk, hvor mange digitale elektroniske computere bestemmer trigonometriske funktioner: fra delvis sum approximationer.

Spørgsmål 6

Den trigonometriske funktion af sinus kan findes som følge af en uendelig serie. Bemærk at denne serie forudsætter, at vinklen x udtrykkes i radianer, ikke grader:

sinx = ∞ Σ n = 0 (-1) n x 2n + 1


(2n + 1)!

Anslå sansen for 1 radian (sin1) i trin ved hjælp af nedenstående tabel, og skriv derefter den delvise sum ekspansion op til n = 5:

n(-1) nx 2n + 1(2n + 1)!≈ sinx
0
1
2
3
4
5

Reveal svar Skjul svar

n(-1) nx 2n + 1(2n + 1)!≈ sinx
01111
1-1160.8333333
2111200.8416667
3-1150400.8414683
411362.8800.8414710
5-11399168000.8414710

Vist her er den delvise sum ekspansion op til n = 5:

sinx ≈ x - x 3


3!

+ x 5


5!

- x 7


7!

+ x 9


9!

- x 11


11!

Udfordringsspørgsmål: hvilken serie (sinus eller cosinus) ville en computer kunne beregne hurtigste, givet et bestemt antal cifre (præcision) forbi decimaltegnet? Med andre ord, hvilken af ​​disse to uendelige serier konvergerer hurtigst ?

Vist her er en delvis sum ekspansion af cosinusfunktionen til sammenligning:

cosx ≈ 1 - x 2


2!

+ x 4


4!

- x 6


6!

+ x 8


8!

- x 10


10!

Bemærkninger:

Det bør siges, at eleverne skal høre deres elektroniske regnemaskiner for at se, hvad den faktiske værdi af sin1 er, og sammenligne den med deres delvise tilnærmelse. Studerende bør også være velkommen til at undersøge gyldigheden af ​​denne serie ved at tilnærme sinus af andre vinkler end 1 radian.

Disse spørgsmål giver eleverne mulighed for at se, hvordan sinx kan beregnes aritmetisk. Dette er faktisk, hvor mange digitale elektroniske computere bestemmer trigonometriske funktioner: fra delvis sum approximationer.

Spørgsmål 7

Sammenlign disse tre matematiske serier, en for e x, en for cosx og en for sinx:

e x = 1 + x + x 2


2!

+ x 3


3!

+ x 4


4!

+ x 5


5!

+ x 6


6!

+ x 7


7!

+

.

cosx = 1 - x 2


2!

+ x 4


4!

- x 6


6!

+

.

sinx = x - x 3


3!

+ x 5


5!

- x 7


7!

+

.

Bemærk ligheder i vilkårene i disse tre serier. Bortset fra tegn ser det ud til, at cosinuserien indeholder alle de lige drevne vilkår for e x og sinusserien indeholder alle de ulige drevne vilkår for e x . Leonhard Euler, den schweiziske matematiker, der levede fra 1707 til 1783, fandt en forbindelse mellem disse tre serier, der blev kendt som Eulers forhold .

Du kan også finde den samme forbindelse, hvis du erstatter jx for x i den første (e x ) -serie, og multiplicér derefter alle udtryk i sinusserien med j. Forlad cosinus-serien uændret. Husk at j = √ {-1} og at j 2 = -1, j 3 = -j, j 4 = 1, j 5 = j, osv.

Reveal svar Skjul svar

For det første vil jeg udføre substitutionerne og multiplikationerne for dig:

e jx = 1 + jx + (jx) 2


2!

+ (jx) 3


3!

+ (jx) 4


4!

+ (jx) 5


5!

+ (jx) 6


6!

+ (jx) 7


7!

+

.

cosx = 1 - x 2


2!

+ x 4


4!

- x 6


6!

+

.

j sinx = jx - j x 3


3!

+ j x 5


5!

- j x 7


7!

+

.

Hvis du beregner alle jeres beføjelser korrekt, finder du dette forhold mellem disse tre serier:

e jx = cosx + j sinx

Bemærkninger:

For de studerende, der har brug for lidt mere hjælp, er her e- jx- serien før og efter forenkling:

e jx = 1 + jx + (jx) 2


2!

+ (jx) 3


3!

+ (jx) 4


4!

+ (jx) 5


5!

+ (jx) 6


6!

+ (jx) 7


7!

+

.

e jx = 1 + jx - x 2


2!

- j x 3


3!

+ x 4


4!

+ j x 5


5!

- x 6


6!

- j x 7


7!

+

.

Nu er sammensætningen af ​​e jx- serien som summen af ​​cosx-serien og j-sinx-serien, mere tydelig.

Spørgsmål 8

En fascinerende matematisk identitet opdaget af Leonhard Euler (1707-1783), som nogle betragter som den smukkeste ligning i hele matematikken, vedrører fem af matematikens grundlæggende konstanter sammen:

e i π + 1 = 0

Brug Eulers forhold til at oversætte denne identitet til trigonometriske termer, hvor sandheden af ​​denne identitet bliver mere tydelig.

Reveal svar Skjul svar

cosπ + j sinπ + 1 = 0

Bemærkninger:

Skønheden i denne identitet kan ikke nægtes og vedrører fem grundlæggende konstanter af matematik (e, i, π, 1 og 0) sammen i en simpel ligning.

Bemærk: Her bryder jeg stilistisk konvention ved at bruge den mere traditionelt matematiske i stedet for den traditionelt elektriske j til at repræsentere √ {-1}. For dem, der bare ikke kan stå for at se jeg repræsenterer andet end øjeblikkelig strøm, her går du:

e j π + 1 = 0

Er du glad nu?

Spørgsmål 9

Hvis du har studeret komplekse tal, ved du, at den samme komplekse mængde kan skrives i to forskellige former: rektangulær og polær . Tag for eksempel den komplekse mængde ((√3) / 2) + j 1/2. Den følgende illustration viser dette punkt placeret på det komplekse plan sammen med dets rektangulære dimensioner:

Dernæst ser vi det samme punkt på det samme komplekse plan sammen med dets polære koordinater:

Skrevet ud, kan vi udtrykke ækvivalensen af ​​disse to notater som sådan:

√3


2

+ j 1


2

= 1 ∠ π


6

Udtrykt i en mere generel form ville ækvivalensen mellem rektangulære og polære notationer se sådan ud:

a + jb = c ∠Θ

Et problem med vinkelsymbolet (∠) er imidlertid, at vi ikke har nogen standardiseret måde at klare det matematisk på. Vi skulle opfinde særlige regler for at beskrive, hvordan man tilføjer, subtraherer, formidler, opdeler, differentierer, integrerer eller på anden måde manipulerer komplekse mængder udtrykt ved hjælp af dette symbol. Et mere rentabelt alternativ til at bruge "vinkelsymbolet" vises her:

a + jb = ce

Forklar hvorfor denne ækvivalens er matematisk forsvarlig.

Reveal svar Skjul svar

Den viste ækvivalens er baseret på Eulers forhold, som er overladt til dig som en øvelse for at bevise.

Bemærkninger:

Dette spørgsmål bør formentlig gå forud for # 04058, som beder eleverne om at undersøge forholdet mellem den uendelige serie for e x, cosx og sinx. Under alle omstændigheder skal dine elever kende Eulers forhold:

e jx = cosx + j sinx

Spørgsmål 10

Elektriske ingeniører udtrykker normalt frekvensen af ​​et vekselstrømskredsløb med hensyn til vinkelhastighed målt i radianer pr. Sekund i stedet for cykler pr. Sekund (Hertz eller Hz).

Forklar først hvad en radian er. Skriv derefter en ligning vedrørende frekvens (f) i Hertz til vinkelhastighed (ω) i radianer pr. Sekund. Tip: forholdet mellem de to er måske lettere at forstå i form af en topolet vekselstrømsgenerator eller generator, hvor hver rotationsomdrejning genererer en fuld cyklus af vekselstrøm.

Reveal svar Skjul svar

En radian er den vinkel, der beskriver en sektor af en cirkel, hvis bue længde er lig med cirkelens radius:

Dernæst er ækvivalensen mellem vinkelhastighed (ω) og frekvens (f):

ω = 2 πf

Bemærkninger:

Personligt finder jeg den roterende generatormodel den bedste måde at forstå forholdet mellem vinkelhastighed og frekvens på. Hvis hver rotationsomdrejning er en cyklus (2 π radianer), og frekvensen er cykler pr. Sekund, vil en omdrejning pr. Sekund være 1 Hertz, som vil være 2 π radianer pr. Sekund.

Spørgsmål 11

Antag, at vi har en enkel topolet vekselstrømsgenerator eller generator, de to statorviklinger på begge sider af rotoren er forbundet sammen for at fungere som en enkeltvikling:

Ideelt set vil denne maskine generere en sinusformet udgangsspænding, når rotoren vender. Antag nu, at vi skriver indeksmærker på rotorakslen for at måle sin position som den vender, og vi repræsenterer den position med det græske bogstav "Theta" (Θ). Det er rent vilkårlig, hvor vi mærker "nul" -positionen på akslen, så vi vælger at markere dette punkt på et let identificeret punkt på output-bølgeformen: det sted, hvor spoleudgangsspændingen springer positivt, mens den roterer mod uret. Når spundet, vil den øjeblikkelige udgangsspænding derefter matche cosinusfunktionen . Med andre ord vil den øjeblikkelige udgangsspænding være proportional med cosinus af akselvinklen:

Vi kan repræsentere spoleens spænding med ligningen v coil = V 0 cosΘ. Hvis vi netop kender spændingsværdien (V 0 ) og akselpositionen (Θ), kan vi præcist forudsige spændingsspændingen til enhver tid i tide (v- spole ).

Der er dog en mere fuldstændig måde at beskrive, hvad der sker i denne generator. Ligningen v coil = V 0 cosΘ er tilstrækkelig til at forudsige spolespænding fra akselposition, men det er ikke tilstrækkeligt til at gøre det modsatte: forudsigelse af akselposition fra spolespænding. Bemærk, at der kun er to punkter på spændingsbølgeformen, hvor en spændingsværdi svarer til en unik akselposition, og disse punkter er de positive og negative toppe. Ved enhver anden værdi af øjeblikkelig spænding (-V 0

<v coil <V 0), er der flere mulige akselpositioner. Det mest oplagte eksempel på dette er, hvor v- spole = 0. Her kan akselpositionen være ((π) / 2) radianer, eller det kan være ((3 π) / 2) radianer. Bemærk, at vi anser den positive top at forekomme i kun en position (0 radianer) og ikke to positioner (0 og 2 π radianer) i en revolution, fordi 2 π radianer er identiske med 0 radianer lige så 360 grader svarer til 0 grader.

For unikt at beskrive generatorens akselposition i form af udgangsspænding, har vi brug for mere information end blot den øjeblikkelige spænding ved en spole. Hvad vi har brug for er en anden spole, en imaginær spole, skiftet i vinkelposition fra den første spole:


Ligesom den første spole (den ægte spole), vil den imaginære spoles outputspænding også være sinusformet. Det vil imidlertid generere en udgangsspænding i en anden fase end den reelle spoleens udgangsspænding.

Plot bølgeformen af ​​den imaginære spole spænding, overlejret på bølgeformen af ​​den reelle spole udgangsspænding, og skriv derefter en ligning, der udtrykker begge øjeblikkelige spændinger som en kompleks sum: den reelle spoles spænding som et reelt tal og den imaginære spoles spænding som en imaginær nummer (komplet med j prefix). Brug derefter Eulers relation til at omskrive denne komplekse sum som et komplekst eksponentielt udtryk.


Reveal svar Skjul svar

Alternator output som en kompleks sum:

V ud = V 0 cosΘ + j V 0 sinΘ

Alternator output som en kompleks eksponentiel:

V ud = V 0 e j Θ

Bemærkninger:

Her forsøgte jeg mit bedste for at give en simpel, virkeligheds betydning til phasor notation. Interessant nok virker den ofte-beklagede etiket af "imaginære" egentlig til min fordel og beskriver outputen af ​​en spole, der ikke har noget formål, men at definere generatorens akselposition i form af en kvadraturspænding.

Spørgsmål 12


∫f (x) dx Calculus alarm!


Impedans defineres som det komplekse forhold mellem spænding og strøm:

Z = V


jeg

Vi kan bestemme den komplekse definition af impedans tilvejebragt af en induktor, hvis vi overvejer ligningen vedrørende induktanspænding og induktorstrøm:

v = L d


dt

( det) )

Først skal du erstatte et fasekspression af strøm i ovenstående ligning og differentiere derefter med tiden for at opnå et udtryk for spænding:

I (t) = e j ωt

v = L d


dt

(e j ωt )

Derefter opdele de to fasorudtryk for at opnå et udtryk for induktiv impedans.

Reveal svar Skjul svar

Z L = j ωL

Opfølgningsspørgsmål: Forklar hvorfor følgende udtryk for induktiv impedans svarer til den ovenfor viste:

Z L = ωL e j π / 2

Bemærkninger:

For at løse dette problem skal dine elever huske den grundlæggende regel for differentiering af eksponentielle funktioner:

d


dx

( ex ) = ae økse

Dette er en af ​​skønhederne ved at repræsentere sinusformede spændinger og strømme i kompleks eksponentiel (fasor) form: den gør differentiering og integration relativt let! I denne forstand er Euler-forholdet for e jx = cosx + j sinx en transformeringsfunktion, der omdanner en type matematisk problem til en anden (lettere) type.

Spørgsmål 13


∫f (x) dx Calculus alarm!


Impedans defineres som det komplekse forhold mellem spænding og strøm:

Z = V


jeg

Vi kan bestemme den komplekse definition af impedans tilvejebragt af en kondensator, hvis vi overvejer ligningen vedrørende kondensator spænding og kondensator strøm:

i = C d


dt

(v (t))

Først skal du erstatte et fasorekspression af spænding i ovenstående ligning og differentiere derefter med tiden for at opnå et udtryk for strøm:

v (t) = e j ωt

i = C d


dt

(e j ωt )

Derefter opdele de to fasorudtryk for at opnå et udtryk for kapacitiv impedans.

Reveal svar Skjul svar

Z C = 1


j ωC

eller ZC = -j 1


wc

Opfølgningsspørgsmål: Forklar hvorfor følgende udtryk for kapacitiv impedans svarer til ovenstående:

Z C = 1


wc

e j (-π / 2)

Bemærkninger:

For at løse dette problem skal dine elever huske den grundlæggende regel for differentiering af eksponentielle funktioner:

d


dx

( ex ) = ae økse

Dette er en af ​​skønhederne ved at repræsentere sinusformede spændinger og strømme i kompleks eksponentiel (fasor) form: den gør differentiering og integration relativt let! I denne forstand er Euler-forholdet for e jx = cosx + j sinx en transformeringsfunktion, der omdanner en type matematisk problem til en anden (lettere) type.

  • ← Forrige regneark

  • Regneark Indeks

  • Næste regneark →