Trigonometri for AC-kredsløb

AC Impedansbegrebet - spolen (2/3) (Juni 2019).

$config[ads_text] not found
Anonim

Trigonometri for AC-kredsløb

Matematik til elektronik


Spørgsmål 1

Identificere hvilke trigonometriske funktioner (sinus, cosinus eller tangent) repræsenteres ved hver af de følgende forhold, med henvisning til vinklen mærket med det græske bogstav "Theta" (Θ):

x


R

=

x


Z

=

R


Z

=

Reveal svar Skjul svar

x


R

= tanΘ = Modsat


Tilstødende

x


Z

= sinΘ = Modsat


hypotenusen

R


Z

= cosΘ = Tilstødende


hypotenusen

Bemærkninger:

Bed dine elever om at forklare, hvad ordene "hypotenuse", "modsat" og "tilstødende" henviser til i en rigtig trekant.

Spørgsmål 2

Identificere hvilke trigonometriske funktioner (sinus, cosinus eller tangent) repræsenteres ved hver af de følgende forhold, med henvisning til vinklen mærket med det græske bogstav "Phi" (φ):

R


x

=

x


Z

=

R


Z

=

Reveal svar Skjul svar

R


x

= tanφ = Modsat


Tilstødende

x


Z

= cosφ = Tilstødende


hypotenusen

R


Z

= sinφ = Modsat


hypotenusen

Bemærkninger:

Bed dine elever om at forklare, hvad ordene "hypotenuse", "modsat" og "tilstødende" henviser til i en rigtig trekant.

Spørgsmål 3

Impedans-trekant bruges ofte til grafisk at forholde Z, R og X i et serie kredsløb:

Desværre tager mange studerende ikke forstå betydningen af ​​denne trekant, men husker det snarere som et "trick", der bruges til at beregne en af ​​de tre variabler, der gives de to andre. Forklar, hvorfor en rigtig trekant er en passende form for at relatere disse variabler, og hvad hver side af trekanten faktisk repræsenterer.

Reveal svar Skjul svar

Hver side af impedanstrieanten er faktisk en fasor (en vektor der repræsenterer impedans med størrelse og retning):

Da fasoren for resistiv impedans (Z R ) har en vinkel på nul grader, og fasoren for reaktiv impedans (Z C eller Z L ) enten har en vinkel på +90 eller -90 grader, vil fasensummen, som repræsenterer total serieimpedans, danne Hypotenuse af en rigtig trekant, når de første til fasorer tilføjes (tip-to-tail).

Opfølgningsspørgsmål: Forklar, hvorfor resistive impedansfasorer altid har en vinkel på nul grader, og hvorfor reaktive impedansfasorer altid har vinkler på enten +90 grader eller -90 grader.

Bemærkninger:

Spørgsmålet er tilstrækkeligt åbent, at mange studerende måske ikke er klar over, hvad der bliver spurgt, før de læser svaret. Det er okay, da det er svært at sætte spørgsmålet på en mere bestemt måde uden at give svaret væk!

Spørgsmål 4

Forklar hvorfor "impedant-trekant" ikke er korrekt at bruge til at forbinde total impedans, modstand og reaktans i parallelle kredsløb, som det er for seriekredsløb:

Reveal svar Skjul svar

Impedanser tilføjer ikke parallelt.

Opfølgningsspørgsmål: hvilken slags en trekant kunne anvendes korrekt på et parallelt AC-kredsløb, og hvorfor "noter skjult"> Noter:

At forsøge at anvende ZRX-trekanten direkte til parallelle vekselstrømskredsløb er en almindelig fejl, som mange nye studerende gør. Nøglen til at vide, hvornår og hvordan man bruger trekanter til grafisk at skildre AC-mængder, er at forstå, hvorfor trekanten fungerer som et analyseværktøj, og hvad dets sider repræsenterer.

Spørgsmål 5

Undersøg følgende kredsløb og mærker derefter siderne af deres respektive trekanter med alle de variabler, der er trigonometrisk relaterede i disse kredsløb:

Reveal svar Skjul svar

Bemærkninger:

Dette spørgsmål beder eleverne om at identificere de variabler i hvert kredsløb, som vektormæssigt tilføjer, diskriminerer dem fra de variabler, som ikke tilføjer. Dette er yderst vigtigt for eleverne at kunne gøre, hvis de med succes skal anvende "trekanten" til løsning af AC-kredsløbsproblemer.

Bemærk at nogle af disse trekanter skal tegnes op og ned i stedet for alle de samme som de er vist i spørgsmålet, hvis vi korrekt skal repræsentere den vertikale (imaginære) fasor for kapacitiv impedans og til induktortilgang. Men punktet her er simpelthen at få eleverne til at genkende hvilke mængder der tilføjes, og hvad gør det ikke. Opmærksomhed til retningen (op eller ned) af trekanten er modsat side kan komme senere.

Spørgsmål 6

Brug "impedant-trekant" til at beregne den nødvendige reaktans af denne serie kombination af resistens (R) og induktiv reaktion (X) for at producere den ønskede totalimpedans på 145 Ω:

Forklar, hvilken ligning (er) du bruger til at beregne X, og algebraet, der er nødvendigt for at opnå dette resultat fra en mere almindelig formel.

Reveal svar Skjul svar

X = 105 Ω, som beregnet ved en algebraisk manipuleret version af Pythagoras sætning.

Bemærkninger:

Sørg for at få eleverne til at vise dig Pythagoras sætning, snarere end at vise dem selv, da det er så nemt for eleverne at forske alene.

Spørgsmål 7

En serie AC kredsløb udviser en total impedans på 10 kΩ, med en faseforskydning på 65 grader mellem spænding og strøm. Tegnet i en impedans-trekant ser det sådan ud:

Vi ved, at sinusfunktionen vedrører siderne X og Z af denne impedanstrieant med 65 graders vinkel, fordi vinklen er vinklen mellem modsat og hypotenus, idet X er modsat 65 graders vinkel. Derfor ved vi, at vi kan oprette følgende ligning vedrørende disse mængder sammen:

sin65 o = x


Z

Løs denne ligning for værdien af ​​X, i ohm.

Reveal svar Skjul svar

X = 9, 063 kΩ

Bemærkninger:

Bed dine elever om at vise dig deres algebraiske manipulation (er) ved opstilling af ligningen til evaluering.

Spørgsmål 8

En serie AC kredsløb udviser en total impedans på 2, 5 kΩ, med en faseforskydning på 30 grader mellem spænding og strøm. Tegnet i en impedans-trekant ser det sådan ud:

Brug de relevante trigonometriske funktioner til at beregne de ækvivalente værdier for R og X i dette serie kredsløb.

Reveal svar Skjul svar

R = 2.165 kΩ

X = 1, 25 kΩ

Bemærkninger:

Der er et par forskellige måder man kan løse for R og X i dette trigonometri problem. Dette ville være en god mulighed for at få dine elever præsenteret problemløsende strategier på tavlen foran klassen, så alle får mulighed for at se flere teknikker.

Spørgsmål 9

Et parallel AC-kredsløb trækker 8 ampere af strøm gennem en rent resistiv gren og 14 ampere af strøm gennem en rent induktiv gren:

Beregn den totale strøm og vinklen Θ af den samlede strøm, og forklar din trigonometriske metode (r) for opløsningen.

Reveal svar Skjul svar

I alt = 16, 12 ampere

Θ = 60, 26 o (negativ, hvis du ønsker at repræsentere vinklen i overensstemmelse med standardkoordinatsystemet for fasorer).

Opfølgningsspørgsmål: Ved beregning af Θ anbefales det at anvende arctangent-funktionen i stedet for enten arcsin- eller bc-cosinusfunktionerne. Årsagen til at gøre dette er nøjagtighed: mindre mulighed for sammensat fejl på grund af enten afrunding og / eller beregning relateret (tastetryk) fejl. Forklar, hvorfor brugen af ​​arctangent-funktionen til beregning Θ medfører mindre risiko for fejl end nogen af ​​de andre to buefunktioner.

Bemærkninger:

Opfølgningsspørgsmålet illustrerer et vigtigt princip i mange forskellige discipliner: Undgå unødvendig risiko ved at vælge beregningsteknikker ved hjælp af givne mængder i stedet for afledte mængder. Dette er et godt emne at diskutere med dine elever, så sørg for at du gør det.

Spørgsmål 10

Et parallel RC kredsløb har 10 μS susceptans (B). Hvor meget ledningsevne (G) er nødvendig for at give kredsløbet en (total) fasevinkel på 22 grader "// www.beautycrew.com.au//sub.allaboutcircuits.com/images/quiz/02090x01.png">

Reveal svar Skjul svar

G = 24, 75 μS

Opfølgningsspørgsmål: Hvor meget modstand er dette i ohm?

Bemærkninger:

Bed dine elever om at forklare deres metode (r) af løsning, herunder eventuelle måder at dobbeltside kontrollere svarets rigtighed.

Spørgsmål 11

Pythagorasetningen er beregnet til at beregne længden af ​​hypotenusen af ​​en rigtig trekant med længden af ​​de to andre sider:

Skriv standardformen for den pythagoriske sætning, og giv et eksempel på dets anvendelse.

Reveal svar Skjul svar

Jeg vil lade dig undersøge denne på egen hånd!

Opfølgningsspørgsmål: Identificer en applikation i AC-kredsløbsanalyse, hvor den pythagoriske sætning ville være nyttig til beregning af en kredsløbsmængde, såsom spænding eller strøm.

Bemærkninger:

Den pythagoriske sætning er let nok til, at eleverne finder på egen hånd, at du ikke behøver at vise dem. En mindeværdig illustration af denne sætning er sidelængderne af en såkaldt 3-4-5 trekant. Må ikke blive overrasket, hvis dette er det eksempel, mange studerende vælger at give.

Spørgsmål 12

Brug "impedans trianglen" til at beregne impedansen af ​​denne serie kombination af resistens (R) og induktiv reaktans (X):

Forklar hvilken ligning (er) du bruger til at beregne Z.

Reveal svar Skjul svar

Z = 625 Ω, som beregnet af Pythagoras sætning.

Bemærkninger:

Sørg for at få eleverne til at vise dig Pythagoras sætning, snarere end at vise dem selv, da det er så nemt for eleverne at forske alene.

Spørgsmål 13

Trigonometriske funktioner som sinus, cosinus og tangent er nyttige til bestemmelse af forholdet mellem højre-trekant sidelængder givet værdien af ​​en vinkel. Men de er ikke særlig nyttige til at gøre det modsatte: beregning af en vinkel med længden af ​​to sider.

Antag at vi ønskede at kende værdien af ​​vinkel Θ, og vi er tilfældet ved at kende værdierne Z og R i denne impedant-trekant. Vi kunne skrive følgende ligning, men i sin nuværende form kunne vi ikke løse Θ:

cosΘ = R


Z

Den eneste måde, vi kan algebraisk isolere vinklen Θ i denne ligning på, er, hvis vi har en eller anden måde at "fortryde" cosinusfunktionen. Når vi ved, hvilken funktion der vil "fortryde" cosinus, kan vi anvende det på begge sider af ligningen og have Θ i sig selv på venstre side.

Der er en klasse af trigonometriske funktioner kendt som inverse eller "bue" -funktioner, som gør det netop: "fortryd" en regelmæssig trigonometrisk funktion for at forlade vinklen alene. Forklar hvordan vi kunne anvende en "bue-funktion" til ligningen vist ovenfor for at isolere Θ.

Reveal svar Skjul svar

cosΘ = R


Z

Oprindelig ligning

. . . anvendelse af erc-cosine "-funktionen til begge sider. . .

arccos (cosΘ) = arccos  R


Z

 ⎠

Θ = arccos  R


Z

 ⎠

Bemærkninger:

Jeg kan godt lide at vise formålet med trigonometriske arcfunctions på denne måde ved hjælp af kardinalreglen for algebraisk manipulation (gør det samme til begge sider af en ligning), som eleverne er bekendt med nu. Dette hjælper med at eliminere mysteriet med arcfunctions for studerende, der er ny til trigonometri.

Spørgsmål 14

En serie AC kredsløb indeholder 1125 ohm modstand og 1500 ohm reaktans for en total kredsløb impedans på 1875 ohm. Dette kan repræsenteres grafisk i form af en impedant-trekant:

Da alle sidelængder på denne trekant er kendt, er det ikke nødvendigt at anvende den pythagoriske sætning. Vi kan dog stadig beregne de to ikke-vinkelrette vinkler i denne trekant ved hjælp af "inverse" trigonometriske funktioner, der nogle gange kaldes buefunktioner .

Identificer hvilken bue-funktion der skal bruges til at beregne vinklen Θ givet følgende par sider:

R og Z

X og R

X og Z

Vis hvordan tre forskellige trigonometriske buefunktioner kan bruges til at beregne den samme vinkel Θ.

Reveal svar Skjul svar

arccos R


Z

= 53, 13 o

arctan x


R

= 53, 13 o

arcsin x


Z

= 53, 13 o

Udfordringsspørgsmål: Identificer yderligere tre funktionsfunktioner, der kan bruges til at beregne den samme vinkel Θ.

Bemærkninger:

Nogle håndkalkulatorer identificerer bue-trig-funktioner med bogstavet "A", der forbereder hver trigonometrisk forkortelse (f.eks. "ASIN" eller "ATAN"). Andre hånd regnemaskiner bruger den inverse funktion notation af en -1 eksponent, som slet ikke er en eksponent (f.eks. Synd -1 eller tan -1 ). Husk at diskutere funktionsnotation på dine elevernes regnemaskiner, så de ved, hvad de skal anvende, når de løser problemer som dette.

Spørgsmål 15

Studerende, der studerer AC elektrisk teori, bliver fortrolig med impedanstrieanten meget snart i deres studier:

Hvad disse elever måske ikke normalt opdager er, at denne trekant også er nyttig til beregning af andre elektriske mængder end impedans. Formålet med dette spørgsmål er at få dig til at opdage nogle af trekantens andre anvendelser.

Grundlæggende repræsenterer denne højre trekant fasas addition, hvor to elektriske mængder vinkelret på hinanden (resistive versus reaktive) sættes sammen. I serie-AC-kredsløb er det fornuftigt at bruge impedant-trekant til at repræsentere, hvordan modstand (R) og reaktans (X) kombineres for at danne en total impedans (Z), da modstand og reaktans er selvstændige impedansformer, og vi ved det impedanser tilføjes i serie.

Anfør alle de elektriske mængder, du kan tænke på, at tilføjes (i serie eller parallelt) og derefter vise, hvordan lignende trekanter kan trækkes til at forbinde disse mængder sammen i vekselstrømskredsløb.

Reveal svar Skjul svar

Elektriske mængder, der tilføjer:

Serieimpedanser
Serie spændinger
Parallelt adgang
Parallelle strømme
Power dissipations

Jeg vil vise dig et grafisk eksempel på hvordan en trekant kan relateres til andre elektriske mængder end serierimpedanser:

Bemærkninger:

Det er meget vigtigt for eleverne at forstå, at trekanten kun virker som et analyseværktøj, når det anvendes på mængder, der tilføjer . Mange gange har jeg set, at eleverne forsøger at anvende ZRX impedanstrieanten til parallelle kredsløb og mislykkes, fordi parallelle impedanser ikke tilføjer . Formålet med dette spørgsmål er at tvinge eleverne til at tænke over, hvor trekanten er anvendelig til AC-kredsløbsanalyse, og ikke bare for at bruge det blindt.

Energitrikken er en interessant anvendelse af trigonometri anvendt til elektriske kredsløb. Du vil måske ikke diskutere magt med dine elever omhyggeligt, hvis de lige begynder at studere spænding og strøm i AC-kredsløb, fordi strøm er et tilstrækkeligt forvirrende emne alene.

Spørgsmål 16

Pythagorasetningen er beregnet til at beregne længden af ​​hypotenusen af ​​en rigtig trekant med længden af ​​de to andre sider:

Manipulere standardformen for den pythagoriske sætning til at producere en version, der løser længden af ​​en given B og C, og også skrive en version af ligningen, der løser for længden af ​​B givet A og C.

Reveal svar Skjul svar

Standardform for den pythagoriske sætning:

C =


A 2 + B 2

Løsning for A:

A =


C2 - B2

Løsning for B:

B =


C2 - A2

Bemærkninger:

Den pythagoriske sætning er let nok til, at eleverne finder på egen hånd, at du ikke behøver at vise dem. En mindeværdig illustration af denne sætning er sidelængderne af en såkaldt 3-4-5 trekant. Må ikke blive overrasket, hvis dette er det eksempel, mange studerende vælger at give.

Spørgsmål 17

En rektangulær bygning med et areal på 18.500 kvadratmeter måler 100 fod langs den ene side. Du er nødt til at ligge i en diagonal ledning af kanal fra et hjørne af fundamentet til det andet. Beregn hvor meget ledning du skal bruge til at løbe:

Skriv også en ligning til beregning af denne rørlængde (L) givet det rektangulære område (A) og længden af ​​den ene side (x).

Reveal svar Skjul svar

Rørledning = 210 fod, 3, 6 inches fra hjørne til hjørne.

Bemærk: Følgende ligning er ikke den eneste form, der er mulig til beregning af diagonallængden. Vær ikke bekymret, hvis din ligning ikke ser sådan ud!

L =


x 4 + a 2


x

Bemærkninger:

Fastlæggelse af den nødvendige længde af ledningen til dette spørgsmål involverer både den pythagoriske sætning og simple geometri.

De fleste elever vil sandsynligvis komme til denne formular for deres diagonal længde ligning:

L = √


x 2 +  EN


x

 ⎠ 2

Selvom dette er helt korrekt, er det en interessant øvelse at få eleverne til at konvertere ligningen fra denne (enkle) form til den, der gives i svaret. Det er også et meget praktisk spørgsmål, da ligninger i referencebøger ikke altid følger den mest direkte form, men er ofte skrevet på en sådan måde, at de ser mere æstetisk glædeligt ud. Den simple og direkte form af ligningen vist her (i Notes-sektionen) ser "grim" på grund af fraktionen inde i radikanten.

Spørgsmål 18

Vurder længden af ​​side x i denne højre trekant, givet længden af ​​de to andre sider:

Reveal svar Skjul svar

x = 10

Bemærkninger:

Dette spørgsmål er en straight-forward test af elevernes evne til at identificere og anvende 3-4-5 forholdet til en rigtig trekant.

Spørgsmål 19

Vurder længden af ​​side x i denne højre trekant, givet længden af ​​de to andre sider:

Reveal svar Skjul svar

x = 15

Bemærkninger:

Dette spørgsmål er en straight-forward test af elevernes evne til at identificere og anvende 3-4-5 forholdet til en rigtig trekant.

Spørgsmål 20

Brug en trekant til at beregne den samlede spænding for kilden til denne serie RC kredsløb, da spændingsfaldet over hver komponent er:

Forklar, hvilken ligning (er) du bruger til at beregne V total, samt hvorfor vi skal geometrisk tilføje disse spændinger sammen.

Reveal svar Skjul svar

V total = 3.672 volt, som beregnet af Pythagoras sætning

Bemærkninger:

Sørg for at få eleverne til at vise dig Pythagoras sætning, snarere end at vise dem selv, da det er så nemt for eleverne at forske alene.

Spørgsmål 21

Brug "impedant-trekant" til at beregne den nødvendige modstand i denne serie kombination af resistens (R) og induktiv reaktion (X) for at producere den ønskede samlede impedans på 5, 2 kΩ:

Forklar, hvilken ligning (er) du bruger til at beregne R, og algebraet, der er nødvendigt for at opnå dette resultat fra en mere almindelig formel.

Reveal svar Skjul svar

R = 4, 979 kΩ, som beregnet ved en algebraisk manipuleret version af Pythagorean Theorem.

Bemærkninger:

Sørg for at få eleverne til at vise dig Pythagoras sætning, snarere end at vise dem selv, da det er så nemt for eleverne at forske alene.

Spørgsmål 22

Brug "impedant-trekant" til at beregne den nødvendige reaktans af denne serie kombination af resistens (R) og kapacitiv reaktans (X) for at producere den ønskede totale impedans på 300 Ω:

Forklar, hvilken ligning (er) du bruger til at beregne X, og algebraet, der er nødvendigt for at opnå dette resultat fra en mere almindelig formel.

Reveal svar Skjul svar

X = 214, 2 Ω, som beregnet ved en algebraisk manipuleret version af Pythagorean Theorem.

Bemærkninger:

Sørg for at få eleverne til at vise dig Pythagoras sætning, snarere end at vise dem selv, da det er så nemt for eleverne at forske alene.

Spørgsmål 23

Et parallel AC-kredsløb trækker 100 mA strøm gennem en ren resistiv gren og 85 mA strøm gennem en rent kapacitiv gren:

Beregn den totale strøm og vinklen Θ af den samlede strøm, og forklar din trigonometriske metode (r) for opløsningen.

Reveal svar Skjul svar

I alt = 131, 2 mA

Θ = 40, 36 o

Opfølgningsspørgsmål: Ved beregning af Θ anbefales det at anvende arctangent-funktionen i stedet for enten arcsin- eller bc-cosinusfunktionerne. Årsagen til at gøre dette er nøjagtighed: mindre mulighed for sammensat fejl på grund af enten afrunding og / eller beregning relateret (tastetryk) fejl. Forklar, hvorfor brugen af ​​arctangent-funktionen til beregning Θ medfører mindre risiko for fejl end nogen af ​​de andre to buefunktioner.

Bemærkninger:

Opfølgningsspørgsmålet illustrerer et vigtigt princip i mange forskellige discipliner: Undgå unødvendig risiko ved at vælge beregningsteknikker ved hjælp af givne mængder i stedet for afledte mængder. Dette er et godt emne at diskutere med dine elever, så sørg for at du gør det.

  • ← Forrige regneark

  • Regneark Indeks

  • Næste regneark →